Bentuk Kuadratik: Definisi, Sifat, & Aplikasi Mendalam

Pengantar Bentuk Kuadratik

Dalam dunia matematika, persamaan dan fungsi adalah blok bangunan dasar yang membantu kita memahami dan memodelkan fenomena alam. Dari persamaan linear sederhana hingga polinomial yang kompleks, setiap jenis memiliki karakteristik dan aplikasinya sendiri. Salah satu kelas persamaan yang sangat penting dan serbaguna adalah "bentuk kuadratik". Meskipun namanya mungkin terdengar rumit, inti dari bentuk kuadratik adalah generalisasi alami dari konsep kuadrat yang kita kenal dari aljabar dasar.

Bentuk kuadratik adalah polinomial homogen berderajat dua. Dalam satu variabel, ini hanyalah ax². Dalam dua variabel, itu adalah ax² + bxy + cy². Dan dalam lebih banyak variabel, ia mempertahankan sifat homogen dan berderajat dua. Keindahan dan kekuatan bentuk kuadratik terletak pada kemampuannya untuk menggambarkan berbagai fenomena, mulai dari geometri kurva dan permukaan hingga analisis stabilitas sistem fisika dan optimisasi dalam ekonomi.

Artikel ini akan membawa Anda dalam perjalanan mendalam ke dunia bentuk kuadratik. Kita akan memulai dengan definisi formal dan representasi matriksnya, yang merupakan kunci untuk memahami sifat-sifatnya. Kemudian, kita akan menjelajahi berbagai klasifikasi bentuk kuadratik, seperti definit positif, negatif, dan indefinit, yang memiliki implikasi besar dalam analisis. Kita juga akan membahas transformasi penting yang dapat menyederhanakan bentuk kuadratik dan mengungkap struktur dasarnya. Bagian selanjutnya akan berfokus pada metode reduksi, seperti metode Lagrange, yang memungkinkan kita untuk mengubah bentuk kuadratik menjadi bentuk kanonik yang lebih mudah dianalisis. Akhirnya, kita akan melihat berbagai aplikasi praktis bentuk kuadratik di berbagai disiplin ilmu, menunjukkan relevansinya yang luas dan fundamental.

Pemahaman yang kuat tentang bentuk kuadratik adalah aset tak ternilai bagi siapa pun yang mendalami matematika, fisika, rekayasa, ekonomi, atau ilmu komputer. Mari kita mulai eksplorasi ini.

Definisi dan Representasi Matriks

Untuk memahami bentuk kuadratik secara mendalam, kita perlu memulai dengan definisi yang tepat dan kemudian mengeksplorasi bagaimana ia dapat direpresentasikan menggunakan alat ampuh dari aljabar linear: matriks.

Apa Itu Bentuk Kuadratik?

Secara intuitif, bentuk kuadratik adalah polinomial di mana setiap suku memiliki derajat dua. Ini berarti bahwa semua variabel muncul sebagai kuadrat atau sebagai hasil kali dua variabel. Tidak ada suku linear (berderajat satu) atau konstanta.

Dalam satu variabel: Bentuk kuadratik paling sederhana adalah Q(x) = ax².
Dalam dua variabel: Bentuk kuadratik umumnya ditulis sebagai Q(x, y) = ax² + bxy + cy². Perhatikan bahwa semua suku (ax², bxy, cy²) memiliki derajat dua.
Dalam tiga variabel: Ini akan menjadi Q(x, y, z) = ax² + by² + cz² + dxy + exz + fyz.
Secara umum (dalam n variabel): Bentuk kuadratik Q(x₁, x₂, ..., xₙ) adalah polinomial homogen derajat dua dari n variabel, yang dapat ditulis sebagai:
```
Q(x₁, ..., xₙ) = Σᵢ Σⱼ aᵢⱼ xᵢ xⱼ
```
di mana penjumlahan dilakukan dari i=1 hingga n dan j=1 hingga n, dan aᵢⱼ adalah koefisien skalar.

Penting untuk dicatat bahwa karena xᵢxⱼ = xⱼxᵢ, kita biasanya dapat menggabungkan suku-suku seperti itu. Misalnya, dalam ax² + bxy + cy², jika kita menulisnya dalam bentuk penjumlahan di atas, kita akan memiliki a₁₁x₁² + a₁₂x₁x₂ + a₂₁x₂x₁ + a₂₂x₂². Untuk membuat representasi matriksnya unik, kita akan membuat matriks koefisiennya simetris.

Representasi Matriks

Kekuatan sejati bentuk kuadratik terungkap ketika kita merepresentasikannya menggunakan matriks. Representasi ini tidak hanya menyederhanakan notasi tetapi juga membuka pintu ke alat-alat canggih dari aljabar linear.

Misalkan kita memiliki vektor kolom x yang berisi variabel-variabel kita:

   ⎡ x₁ ⎤
x = ⎢ x₂ ⎥
    ⎢ ...⎥
    ⎣ xₙ ⎦

Maka, transpose dari vektor x, dilambangkan xᵀ, adalah vektor baris:

xᵀ = [x₁  x₂  ...  xₙ]

Sekarang, pertimbangkan sebuah matriks A berukuran n x n. Perkalian matriks xᵀ A x akan menghasilkan skalar (yaitu, sebuah angka tunggal), dan skalar ini adalah bentuk kuadratik.

Q(x) = xᵀ A x

Mari kita lihat contoh untuk dua variabel:

Misalkan x = [x y]ᵀ dan A adalah matriks 2x2:

   ⎡ a  b/2 ⎤
A = ⎢       ⎥
    ⎣ b/2  c ⎦

Maka, xᵀ A x akan menjadi:

[x  y] ⎡ a  b/2 ⎤ ⎡ x ⎤
       ⎢       ⎥ ⎢   ⎥
       ⎣ b/2  c ⎦ ⎣ y ⎦

= [ax + (b/2)y   (b/2)x + cy] ⎡ x ⎤
                            ⎢   ⎥
                            ⎣ y ⎦

= x(ax + (b/2)y) + y((b/2)x + cy)
= ax² + (b/2)xy + (b/2)yx + cy²
= ax² + bxy + cy²

Ini persis sama dengan bentuk kuadratik dua variabel yang telah kita definisikan sebelumnya! Perhatikan bahwa matriks A yang kita pilih bersifat simetris (yaitu, A = Aᵀ). Ini adalah praktik standar dalam representasi bentuk kuadratik karena setiap bentuk kuadratik dapat direpresentasikan secara unik oleh matriks simetris.

Gambar 1: Representasi matriks dari bentuk kuadratik xᵀ A x, di mana xᵀ adalah vektor transpose, A adalah matriks simetris, dan x adalah vektor variabel.

Mengapa Matriks Simetris?

Setiap bentuk kuadratik Q(x) = Σᵢ Σⱼ bᵢⱼ xᵢ xⱼ dapat direpresentasikan oleh matriks B dengan elemen bᵢⱼ. Namun, matriks ini tidak harus simetris. Misalnya, 2x² + 5xy + 3y² bisa direpresentasikan oleh:

B₁ = ⎡ 2  5 ⎤   atau   B₂ = ⎡ 2  2 ⎤   atau   B₃ = ⎡ 2  0 ⎤
     ⎣ 0  3 ⎦            ⎣ 3  3 ⎦               ⎣ 5  3 ⎦

Semua matriks ini, ketika digunakan dalam xᵀ B x, akan menghasilkan 2x² + 5xy + 3y². Namun, kita selalu bisa menemukan matriks simetris yang unik. Caranya adalah dengan mengambil rata-rata antara bᵢⱼ dan bⱼᵢ untuk suku-suku silang:

aᵢⱼ = (bᵢⱼ + bⱼᵢ) / 2

Untuk contoh 2x² + 5xy + 3y², matriks simetrisnya adalah:

A = ⎡ 2  5/2 ⎤
    ⎣ 5/2  3 ⎦

Matriks simetris memiliki sifat-sifat khusus yang sangat berguna dalam aljabar linear, terutama terkait dengan diagonalisasi, nilai eigen, dan vektor eigen. Inilah alasan mengapa kita selalu merepresentasikan bentuk kuadratik dengan matriks simetris yang unik.

Klasifikasi dan Sifat-sifat Penting

Klasifikasi bentuk kuadratik adalah salah satu aspek paling fundamental dan berguna. Dengan mengklasifikasikan bentuk kuadratik, kita dapat segera memahami sifat-sifat dasarnya, terutama terkait dengan perilaku fungsi dan interpretasi geometrisnya. Klasifikasi ini sangat bergantung pada sifat-sifat matriks simetris yang merepresentasikannya.

Jenis-jenis Bentuk Kuadratik

Bentuk kuadratik Q(x) = xᵀ A x dapat diklasifikasikan menjadi lima jenis utama:

1. Definit Positif (Positive Definite)

Bentuk kuadratik Q(x) dikatakan definit positif jika Q(x) > 0 untuk semua vektor x ≠ 0. Secara geometris, untuk n=2, ini akan menggambarkan elips. Untuk n=3, itu akan menjadi elipsoid. Dalam konteks optimisasi, jika Hessian dari suatu fungsi adalah definit positif pada titik kritis, maka titik tersebut adalah minimum lokal.

2. Definit Negatif (Negative Definite)

Bentuk kuadratik Q(x) dikatakan definit negatif jika Q(x) < 0 untuk semua vektor x ≠ 0. Ini pada dasarnya adalah kebalikan dari definit positif. Jika Q(x) definit positif, maka -Q(x) akan definit negatif. Dalam optimisasi, jika Hessian dari suatu fungsi adalah definit negatif pada titik kritis, maka titik tersebut adalah maksimum lokal.

3. Semidefinit Positif (Positive Semidefinite)

Bentuk kuadratik Q(x) dikatakan semidefinit positif jika Q(x) ≥ 0 untuk semua vektor x, dan ada setidaknya satu vektor x ≠ 0 sehingga Q(x) = 0. Ini adalah versi "longgar" dari definit positif. Ini masih menunjukkan tren positif, tetapi bisa mencapai nol pada beberapa vektor non-nol. Secara geometris, ini dapat menggambarkan silinder elips atau parabola degeneratif.

4. Semidefinit Negatif (Negative Semidefinite)

Bentuk kuadratik Q(x) dikatakan semidefinit negatif jika Q(x) ≤ 0 untuk semua vektor x, dan ada setidaknya satu vektor x ≠ 0 sehingga Q(x) = 0. Ini adalah versi "longgar" dari definit negatif.

5. Indefinit (Indefinite)

Bentuk kuadratik Q(x) dikatakan indefinit jika Q(x) mengambil nilai positif untuk beberapa vektor x dan nilai negatif untuk vektor y yang lain (yaitu, Q(x) > 0 untuk beberapa x dan Q(y) < 0 untuk beberapa y). Secara geometris, ini menggambarkan kurva atau permukaan seperti hiperbola atau sadel (saddle point). Dalam optimisasi, jika Hessian indefinit pada titik kritis, maka titik tersebut adalah titik sadel.

Kriteria untuk Klasifikasi

Bagaimana kita bisa menentukan jenis bentuk kuadratik dari matriks A-nya? Ada beberapa kriteria penting:

1. Kriteria Nilai Eigen (Eigenvalue Criterion)

Ini adalah kriteria yang paling mendasar dan sering digunakan:

Q(x) definit positif jika dan hanya jika semua nilai eigen dari A positif (λᵢ > 0 untuk semua i).
Q(x) definit negatif jika dan hanya jika semua nilai eigen dari A negatif (λᵢ < 0 untuk semua i).
Q(x) semidefinit positif jika dan hanya jika semua nilai eigen dari A non-negatif (λᵢ ≥ 0 untuk semua i) dan setidaknya satu nilai eigen adalah nol.
Q(x) semidefinit negatif jika dan hanya jika semua nilai eigen dari A non-positif (λᵢ ≤ 0 untuk semua i) dan setidaknya satu nilai eigen adalah nol.
Q(x) indefinit jika dan hanya jika A memiliki nilai eigen positif dan nilai eigen negatif.

Contoh: Pertimbangkan bentuk kuadratik Q(x,y) = x² + 4xy + y². Matriks simetrisnya adalah:

A = ⎡ 1  2 ⎤
    ⎣ 2  1 ⎦

Untuk mencari nilai eigen, kita selesaikan det(A - λI) = 0:

det(⎡ 1-λ  2   ⎤) = (1-λ)(1-λ) - (2)(2) = (1-λ)² - 4 = 0
    ⎣  2   1-λ ⎦

(1-λ)² = 4
1-λ = ±2

λ₁ = 1 - 2 = -1
λ₂ = 1 + 2 = 3

Karena A memiliki satu nilai eigen positif (3) dan satu nilai eigen negatif (-1), maka bentuk kuadratik Q(x,y) adalah indefinit. Secara geometris, ini akan merepresentasikan hiperbola.

2. Kriteria Minor Utama (Leading Principal Minor Criterion) - Kriteria Sylvester

Kriteria ini, yang dikenal sebagai Kriteria Sylvester, menyediakan cara yang lebih mudah untuk mengklasifikasikan bentuk kuadratik tanpa harus menghitung semua nilai eigen, terutama untuk matriks berukuran lebih besar. Ini melibatkan perhitungan determinan dari submatriks "utama" dari A.

Misalkan A adalah matriks simetris n x n. Minor utama terdepan (Leading Principal Minors) adalah:

Δ₁ = det(A₁), di mana A₁ adalah submatriks 1x1 di pojok kiri atas A.
Δ₂ = det(A₂), di mana A₂ adalah submatriks 2x2 di pojok kiri atas A.
...
Δₙ = det(Aₙ) = det(A).

Kriterianya adalah sebagai berikut:

Q(x) definit positif jika dan hanya jika semua minor utama terdepan positif: Δ₁ > 0, Δ₂ > 0, ..., Δₙ > 0.
Q(x) definit negatif jika dan hanya jika minor utama terdepan bergantian tanda, dimulai dengan negatif: Δ₁ < 0, Δ₂ > 0, Δ₃ < 0, ... (yaitu, (-1)ᵏ Δₖ > 0 untuk semua k).
Untuk semidefinit positif/negatif dan indefinit, kriteria minor utama terdepan menjadi lebih kompleks dan biasanya memerlukan semua minor utama (bukan hanya yang terdepan) atau metode lain seperti nilai eigen atau reduksi Lagrange. Untuk kasus semidefinit, jika ada minor utama terdepan yang nol, kriteria ini tidak cukup.

Contoh: Pertimbangkan bentuk kuadratik Q(x,y,z) = x² + 2y² + 3z² + 2xy + 4yz. Matriks simetrisnya adalah:

A = ⎡ 1  1  0 ⎤
    ⎢ 1  2  2 ⎥
    ⎣ 0  2  3 ⎦

Mari hitung minor utama terdepannya:

Δ₁ = det([1]) = 1 > 0
Δ₂ = det(⎡ 1 1 ⎤) = (1)(2) - (1)(1) = 2 - 1 = 1 > 0 ⎣ 1 2 ⎦
Δ₃ = det(A) = 1( (2)(3) - (2)(2) ) - 1( (1)(3) - (0)(2) ) + 0(...) = 1(6 - 4) - 1(3 - 0) = 1(2) - 1(3) = 2 - 3 = -1

Karena Δ₃ = -1 (yang bukan positif), dan tanda tidak bergantian secara teratur untuk definit negatif, maka Q(x,y,z) adalah indefinit. (Ini karena ada Δ positif, Δ negatif, tapi tidak memenuhi pola definit negatif.)

Gambar 2: Ilustrasi geometris bentuk kuadratik pada 2D. Elips menunjukkan bentuk definit positif (nilai selalu > 0), sedangkan hiperbola menunjukkan bentuk indefinit (nilai bisa positif atau negatif).

3. Metode Mengisi Kuadrat (Completing the Square)

Metode ini melibatkan mengubah bentuk kuadratik menjadi jumlah atau selisih kuadrat-kuadrat, yang secara efektif menyoroti sifat definitnya. Ini adalah fondasi dari Hukum Inersia Sylvester yang akan kita bahas nanti. Misalnya, Q(x,y) = ax² + bxy + cy².

Q(x,y) = a(x² + (b/a)xy) + cy²
         = a(x + (b/2a)y)² - a(b/2a)²y² + cy²
         = a(x + (b/2a)y)² + (c - b²/4a)y²

Jika kita sebut x' = x + (b/2a)y dan y' = y, maka Q(x,y) = ax'² + (c - b²/4a)y'². Sekarang, klasifikasi menjadi jelas:

Definit positif: a > 0 dan c - b²/4a > 0.
Definit negatif: a < 0 dan c - b²/4a < 0.
Indefinit: a dan (c - b²/4a) memiliki tanda yang berlawanan.
Semidefinit: Salah satu koefisiennya nol, dan yang lainnya memiliki tanda yang sama dengan kondisi definit.

Metode ini sangat ampuh karena secara langsung menunjukkan "tanda" dari kuadrat-kuadrat yang membentuk bentuk kuadratik.

Transformasi dan Bentuk Kanonik

Salah satu tujuan utama dalam mempelajari bentuk kuadratik adalah menyederhanakannya menjadi bentuk yang lebih mudah dianalisis. Ini biasanya dilakukan melalui transformasi koordinat yang tepat, yang dikenal sebagai diagonalisasi, yang mengarah pada apa yang disebut "bentuk kanonik" atau "bentuk normal".

Diagonalisasi Matriks Simetris

Seperti yang telah kita ketahui, setiap bentuk kuadratik Q(x) = xᵀ A x diasosiasikan dengan matriks simetris A. Sebuah sifat fundamental dari matriks simetris adalah bahwa mereka selalu dapat didiagonalisasi oleh matriks ortogonal.

Ini berarti bahwa ada matriks ortogonal P (yang kolom-kolomnya adalah vektor eigen ortonormal dari A, dan Pᵀ = P⁻¹) dan matriks diagonal D (yang elemen-elemen diagonalnya adalah nilai eigen dari A) sedemikian rupa sehingga:

A = P D Pᵀ

Sekarang, mari kita substitusikan ini kembali ke bentuk kuadratik kita. Misalkan kita melakukan transformasi koordinat x = P y. Maka, xᵀ = (P y)ᵀ = yᵀ Pᵀ.

Jadi, bentuk kuadratik menjadi:

Q(x) = xᵀ A x
     = (yᵀ Pᵀ) (P D Pᵀ) (P y)
     = yᵀ (Pᵀ P) D (Pᵀ P) y

Karena P adalah matriks ortogonal, Pᵀ P = I (matriks identitas). Oleh karena itu:

Q(x) = yᵀ I D I y
     = yᵀ D y

Karena D adalah matriks diagonal dengan nilai eigen λ₁, λ₂, ..., λₙ pada diagonalnya, maka yᵀ D y akan terlihat seperti ini:

[y₁ y₂ ... yₙ] ⎡ λ₁  0   ...  0  ⎤ ⎡ y₁ ⎤
               ⎢ 0   λ₂  ...  0  ⎥ ⎢ y₂ ⎥
               ⎢ ... ... ... ...⎥ ⎢ ...⎥
               ⎣ 0   0   ...  λₙ ⎦ ⎣ yₙ ⎦

= λ₁y₁² + λ₂y₂² + ... + λₙyₙ²

Ini adalah "bentuk kanonik" atau "bentuk normal" dari bentuk kuadratik. Ini adalah jumlah kuadrat-kuadrat variabel baru (yᵢ) yang tidak saling terkait (tidak ada suku silang yᵢyⱼ), di mana setiap kuadrat dikalikan dengan nilai eigen yang sesuai dari matriks A.

Variabel-variabel yᵢ ini dikenal sebagai "koordinat sumbu utama" atau "koordinat utama". Arah-arah dari vektor-vektor eigen P menentukan "sumbu-sumbu utama" dari bentuk kuadratik. Transformasi ke bentuk kanonik ini pada dasarnya adalah rotasi sistem koordinat sehingga sumbu-sumbu koordinat baru sejajar dengan sumbu-sumbu utama bentuk kuadratik.

Sumbu Utama (Principal Axes)

Dalam konteks geometris (misalnya, untuk kurva atau permukaan kuadratik seperti elips atau elipsoid), sumbu utama adalah sumbu simetri objek tersebut. Diagonalisasi bentuk kuadratik secara aljabar setara dengan menemukan rotasi yang menyejajarkan sumbu-sumbu koordinat dengan sumbu-sumbu simetri geometris. Koefisien-koefisien λᵢ dalam bentuk kanonik menentukan "ukuran" relatif objek sepanjang sumbu-sumbu ini.

Contoh: Kembali ke Q(x,y) = x² + 4xy + y² dengan matriks A = ⎡ 1 2 ⎤. Kita menemukan nilai eigen λ₁ = -1 dan λ₂ = 3. Bentuk kanoniknya adalah Q(y₁,y₂) = -y₁² + 3y₂². Jika kita set Q(x,y) = 1, maka kita mendapatkan -y₁² + 3y₂² = 1, yang merupakan persamaan hiperbola dengan sumbu utama yang telah dirotasi relatif terhadap sumbu x-y awal.

Vektor-vektor eigen yang sesuai akan menentukan arah sumbu-sumbu utama tersebut.

Hukum Inersia Sylvester

Hukum Inersia Sylvester adalah teorema fundamental tentang bentuk kuadratik. Ini menyatakan bahwa, tidak peduli metode transformasi non-singular yang kita gunakan untuk mengubah bentuk kuadratik ke bentuk kanonik (jumlah kuadrat-kuadrat), jumlah koefisien positif, jumlah koefisien negatif, dan jumlah koefisien nol akan selalu sama.

Artinya, jika kita memiliki bentuk kuadratik Q(x) dan kita bisa mengubahnya menjadi dua bentuk kanonik yang berbeda, misalnya:

Q(y) = c₁y₁² + c₂y₂² + ... + cₙyₙ²

dan juga menjadi:

Q(z) = d₁z₁² + d₂z₂² + ... + dₙzₙ²

Maka, jumlah cᵢ > 0 akan sama dengan jumlah dⱼ > 0. Begitu juga untuk koefisien negatif dan nol. Jumlah koefisien positif disebut "indeks positif" (atau indeks inersia positif), jumlah koefisien negatif disebut "indeks negatif", dan jumlah koefisien nol disebut "nullitas" (atau indeks nol).

Singkatnya, tanda-tanda dari nilai eigen (positif, negatif, nol) adalah invarian di bawah transformasi koordinat non-singular. Hukum ini sangat kuat karena menjamin bahwa klasifikasi definit positif, negatif, atau indefinit adalah sifat intrinsik dari bentuk kuadratik itu sendiri, bukan hanya artefak dari metode diagonalisasi tertentu yang digunakan.

Indeks positif dan negatif membentuk "signatur" dari bentuk kuadratik, yang memberikan informasi penting tentang sifat-sifat geometris dan aljabarnya.

Metode Reduksi Bentuk Kuadratik: Metode Lagrange

Selain diagonalisasi melalui nilai eigen, ada metode lain untuk mengubah bentuk kuadratik menjadi bentuk kanonik (jumlah kuadrat-kuadrat) yang tidak memerlukan perhitungan nilai eigen yang rumit. Salah satu metode yang paling klasik dan fundamental adalah Metode Lagrange untuk mereduksi bentuk kuadratik.

Metode Lagrange didasarkan pada ide "melengkapi kuadrat" (completing the square) secara berulang, diperluas ke banyak variabel. Tujuannya adalah menghilangkan semua suku silang (xᵢxⱼ, di mana i ≠ j) dengan memperkenalkan variabel baru.

Langkah-langkah Metode Lagrange

Misalkan kita memiliki bentuk kuadratik Q(x₁, x₂, ..., xₙ).

Cari Suku Kuadrat (jika ada):
- Jika ada setidaknya satu suku xᵢ² dengan koefisien tidak nol, pilih salah satu (misalnya ax₁²). Kumpulkan semua suku yang melibatkan x₁ dan "lengkapi kuadrat" untuk x₁. Contoh: ax₁² + bx₁x₂ + cx₁x₃ + ... = a(x₁² + (b/a)x₁x₂ + (c/a)x₁x₃ + ...) Ini akan menjadi a(x₁ + (b/2a)x₂ + (c/2a)x₃ + ...)² - (suku-suku yang tidak melibatkan x₁ lagi). Setelah ini, definisikan variabel baru y₁ = x₁ + (b/2a)x₂ + (c/2a)x₃ + .... Bentuk kuadratik akan menjadi a y₁² + Q'(x₂, x₃, ...), di mana Q' adalah bentuk kuadratik baru yang tidak melibatkan x₁ atau y₁.
Jika Tidak Ada Suku Kuadrat (semua xᵢ² koefisiennya nol):
- Pilih suku silang (misalnya b x₁x₂, dengan b ≠ 0). Lakukan substitusi: x₁ = y₁ + y₂ x₂ = y₁ - y₂ (Atau x₁ = y₁, x₂ = y₂ jika lebih mudah, kemudian x₁x₂ = y₁y₂, dan kemudian y₁y₂ = 1/4 (y₁+y₂)² - 1/4 (y₁-y₂)²). Substitusi ini akan menghasilkan suku kuadrat dari y₁² dan y₂² yang kemudian dapat ditangani seperti pada langkah 1. Misalnya, b x₁x₂ = b(y₁ + y₂)(y₁ - y₂) = b(y₁² - y₂²).
Ulangi Proses:
- Terus ulangi langkah 1 dan 2 pada bentuk kuadratik yang tersisa (Q') sampai semua variabel telah diubah dan semua suku silang telah dihilangkan.

Pada akhirnya, Anda akan mendapatkan bentuk kanonik dari bentuk kuadratik:

Q(y₁, y₂, ..., yₙ) = c₁y₁² + c₂y₂² + ... + cₙyₙ²

di mana cᵢ adalah koefisien skalar. Koefisien cᵢ ini tidak harus menjadi nilai eigen, tetapi jumlah positif, negatif, dan nolnya akan sesuai dengan Hukum Inersia Sylvester.

Contoh Lengkap Metode Lagrange

Mari kita reduksi bentuk kuadratik Q(x₁, x₂, x₃) = x₁² + 2x₂² + 5x₃² + 2x₁x₂ + 4x₂x₃.

Langkah 1: Suku x₁² Kumpulkan suku-suku yang melibatkan x₁: x₁² + 2x₁x₂. Lengkapi kuadrat untuk x₁:

x₁² + 2x₁x₂ = (x₁ + x₂)² - x₂²

Substitusikan kembali ke Q:

Q(x₁, x₂, x₃) = (x₁ + x₂)² - x₂² + 2x₂² + 5x₃² + 4x₂x₃
              = (x₁ + x₂)² + x₂² + 5x₃² + 4x₂x₃

Definisikan variabel baru y₁ = x₁ + x₂. Maka:

Q(y₁, x₂, x₃) = y₁² + x₂² + 5x₃² + 4x₂x₃

Sekarang kita punya bentuk kuadratik yang lebih sederhana dalam x₂ dan x₃.

Langkah 2: Suku x₂² pada sisa bentuk kuadratik Fokus pada Q'(x₂, x₃) = x₂² + 5x₃² + 4x₂x₃. Kumpulkan suku-suku yang melibatkan x₂: x₂² + 4x₂x₃. Lengkapi kuadrat untuk x₂:

x₂² + 4x₂x₃ = (x₂ + 2x₃)² - (2x₃)²
              = (x₂ + 2x₃)² - 4x₃²

Substitusikan kembali ke Q':

Q'(x₂, x₃) = (x₂ + 2x₃)² - 4x₃² + 5x₃²
             = (x₂ + 2x₃)² + x₃²

Definisikan variabel baru y₂ = x₂ + 2x₃. Maka:

Q(y₁, y₂, x₃) = y₁² + y₂² + x₃²

Variabel x₃ sudah merupakan kuadrat tunggal. Definisikan y₃ = x₃.

Hasil Akhir: Bentuk kanonik dari Q(x₁, x₂, x₃) adalah:

Q(y₁, y₂, y₃) = y₁² + y₂² + y₃²

dengan transformasi:

y₁ = x₁ + x₂
y₂ = x₂ + 2x₃
y₃ = x₃

Dari bentuk kanonik ini, kita bisa melihat bahwa semua koefisien adalah positif (1, 1, 1). Menurut Hukum Inersia Sylvester, ini berarti bentuk kuadratik asli adalah definit positif.

Metode Lagrange adalah alat yang sangat berguna untuk mengklasifikasikan bentuk kuadratik, terutama ketika menghitung nilai eigen mungkin terlalu rumit. Ini juga memberikan wawasan tentang bagaimana variabel-variabel asli berinteraksi untuk membentuk variabel-variabel baru yang "tidak berkorelasi" dalam bentuk kanonik.

Aplikasi Bentuk Kuadratik

Bentuk kuadratik bukan sekadar konsep abstrak dalam aljabar linear; mereka adalah alat matematika yang sangat ampuh dengan aplikasi luas di berbagai disiplin ilmu. Kemampuannya untuk memodelkan hubungan non-linear berderajat dua menjadikannya tak tergantikan dalam banyak konteks.

1. Optimisasi dan Kalkulus Multivariabel

Salah satu aplikasi paling penting dari bentuk kuadratik adalah dalam optimisasi fungsi multivariabel (mencari nilai maksimum atau minimum lokal). Dalam kalkulus satu variabel, kita menggunakan turunan kedua untuk menguji apakah suatu titik kritis adalah maksimum, minimum, atau titik belok. Dalam kalkulus multivariabel, peran turunan kedua dimainkan oleh matriks Hessian, yang terkait erat dengan bentuk kuadratik.

Misalkan kita memiliki fungsi f(x₁, ..., xₙ) yang ingin kita optimalkan. Titik kritis adalah titik di mana semua turunan parsial pertama adalah nol (∇f = 0). Untuk mengklasifikasikan titik kritis ini, kita perlu memeriksa matriks Hessian H, yang elemennya adalah turunan parsial kedua: Hᵢⱼ = ∂²f / ∂xᵢ∂xⱼ.

Ketika kita mengevaluasi matriks Hessian pada titik kritis, kita sebenarnya sedang melihat bentuk kuadratik yang disebut "bentuk kuadratik Hessian": Δxᵀ H Δx, di mana Δx adalah vektor perubahan kecil dari titik kritis. Klasifikasi bentuk kuadratik ini menentukan sifat titik kritis:

Jika Δxᵀ H Δx definit positif, maka titik kritis adalah minimum lokal.
Jika Δxᵀ H Δx definit negatif, maka titik kritis adalah maksimum lokal.
Jika Δxᵀ H Δx indefinit, maka titik kritis adalah titik sadel.
Jika Δxᵀ H Δx semidefinit, uji Hessian tidak konklusif, dan diperlukan analisis lebih lanjut.

Ini adalah fondasi dari banyak algoritma optimisasi yang digunakan dalam pembelajaran mesin, rekayasa, dan ekonomi.

2. Fisika dan Mekanika

Dalam fisika, bentuk kuadratik muncul secara alami dalam deskripsi energi dan potensi:

Energi Kinetik: Energi kinetik suatu sistem partikel dapat sering kali dinyatakan sebagai bentuk kuadratik dari kecepatan. Misalnya, energi kinetik translasi dari partikel tunggal adalah 1/2 mv², yang merupakan bentuk kuadratik dalam kecepatan. Untuk sistem yang lebih kompleks, dengan beberapa derajat kebebasan, energi kinetik adalah bentuk kuadratik dari kecepatan umum (generalized velocities).
Energi Potensial Sistem Pegas: Energi potensial yang tersimpan dalam sistem pegas yang terhubung, ketika pegas dianggap ideal (Hukum Hooke), adalah bentuk kuadratik dari perpindahan dari posisi setimbang.
Momen Inersia: Tensor momen inersia dalam mekanika benda tegar adalah matriks simetris yang mendefinisikan bentuk kuadratik yang menggambarkan momen inersia benda terhadap sumbu rotasi apa pun. I = rᵀ M r, di mana M adalah tensor momen inersia. Nilai eigen dari tensor momen inersia adalah momen inersia utama, dan vektor eigennya menunjukkan sumbu-sumbu utama inersia.
Persamaan Gelombang dan Elektromagnetisme: Dalam teori relativitas, interval ruang-waktu adalah bentuk kuadratik. Tensor medan elektromagnetik juga dapat membentuk bentuk kuadratik tertentu.

3. Statistika dan Probabilitas

Bentuk kuadratik memainkan peran krusial dalam statistika multivariat:

Distribusi Normal Multivariat: Eksponen dalam fungsi kepadatan probabilitas distribusi normal multivariat adalah bentuk kuadratik. Khususnya, (x - μ)ᵀ Σ⁻¹ (x - μ), di mana x adalah vektor variabel acak, μ adalah vektor mean, dan Σ adalah matriks kovariansi. Matriks kovariansi Σ selalu bersifat semidefinit positif.
Uji Chi-Kuadrat: Statistik uji chi-kuadrat (χ²) sering kali melibatkan bentuk kuadratik. Misalnya, dalam pengujian kecocokan atau independensi, statistik uji dihitung sebagai bentuk kuadratik dari perbedaan antara frekuensi yang diamati dan yang diharapkan.
Analisis Komponen Utama (PCA): Meskipun tidak secara langsung menggunakan bentuk kuadratik, PCA erat kaitannya dengan diagonalisasi matriks kovariansi (atau matriks korelasi), yang merupakan bentuk kuadratik. PCA mencari arah (vektor eigen) di mana varians (nilai eigen) data dimaksimalkan.
Regresi Linear Multivariat: Dalam metode kuadrat terkecil (Least Squares), minimisasi jumlah kuadrat residual (error) juga melibatkan bentuk kuadratik.

4. Geometri Analitik dan Geometri Diferensial

Identifikasi Kurva dan Permukaan Kuadratik (Konik dan Kuadrik): Persamaan umum dari kurva konik (elips, hiperbola, parabola) di 2D atau permukaan kuadrik (elipsoid, hiperboloid, paraboloid) di 3D adalah bentuk kuadratik plus suku linear dan konstanta. Matriks simetris yang terkait dengan bentuk kuadratik memberikan informasi penting tentang jenis dan orientasi kurva/permukaan tersebut. Sebagai contoh, bentuk definit positif selalu menghasilkan elips atau elipsoid (atau titik jika degeneratif), sedangkan bentuk indefinit menghasilkan hiperbola atau hiperboloid.
Kelengkungan (Curvature): Dalam geometri diferensial, bentuk kuadratik (seperti bentuk fundamental kedua) digunakan untuk menggambarkan kelengkungan permukaan.

5. Rekayasa dan Kontrol Sistem

Analisis Stabilitas Sistem: Dalam teori kontrol, fungsi Lyapunov sering kali didefinisikan sebagai bentuk kuadratik xᵀ P x. Jika kita dapat menemukan matriks P definit positif sedemikian rupa sehingga turunan waktu dari fungsi Lyapunov adalah definit negatif, maka sistem tersebut stabil.
Analisis Rangkaian Listrik: Energi yang tersimpan dalam induktor dan kapasitor dalam rangkaian AC dapat dinyatakan sebagai bentuk kuadratik.
Analisis Getaran: Dalam analisis getaran sistem mekanis, energi potensial dan kinetik dinyatakan sebagai bentuk kuadratik dari perpindahan dan kecepatan, yang mengarah pada persamaan diferensial orde dua.

6. Ilmu Komputer dan Optimisasi Numerik

Optimisasi Kuadratik: Banyak masalah optimisasi, terutama dalam pembelajaran mesin (misalnya, Support Vector Machines, Least Squares Regression), dapat diformulasikan sebagai masalah optimisasi kuadratik, yang melibatkan minimisasi atau maksimisasi bentuk kuadratik dengan batasan-batasan tertentu.
Pemrosesan Gambar: Bentuk kuadratik dapat digunakan dalam algoritma pemrosesan gambar, seperti untuk mengurangi derau atau mendeteksi tepi, di mana metrik energi dapat diformulasikan sebagai bentuk kuadratik.

Dapat dilihat bahwa bentuk kuadratik adalah jembatan yang menghubungkan aljabar linear, geometri, kalkulus, dan berbagai disiplin ilmu terapan. Kemampuan untuk mengklasifikasikan dan menyederhanakan bentuk-bentuk ini adalah keterampilan fundamental bagi para ilmuwan dan insinyur.

Pengembangan Lebih Lanjut dan Topik Terkait

Meskipun kita telah membahas dasar-dasar bentuk kuadratik secara mendalam, bidang ini masih memiliki banyak cabang dan generalisasi yang menarik. Konsep-konsep terkait ini memperluas kegunaan dan kedalaman bentuk kuadratik dalam matematika yang lebih maju.

1. Bentuk Bilinear

Bentuk kuadratik Q(x) = xᵀ A x sebenarnya berasal dari sebuah konsep yang lebih umum yang disebut "bentuk bilinear". Sebuah bentuk bilinear adalah fungsi B(x, y) yang mengambil dua vektor sebagai masukan dan menghasilkan skalar, dan linear di setiap argumen secara terpisah. Artinya:

B(cx + z, y) = c B(x, y) + B(z, y)
B(x, cy + z) = c B(x, y) + B(x, z)

Setiap bentuk bilinear B(x, y) dapat ditulis sebagai xᵀ M y untuk beberapa matriks M. Jika M adalah matriks simetris, maka bentuk bilinear tersebut disebut "simetris".

Hubungannya dengan bentuk kuadratik adalah bahwa setiap bentuk kuadratik Q(x) dapat diperoleh dari bentuk bilinear simetris B(x, y) dengan mengatur y = x. Jadi, Q(x) = B(x, x) = xᵀ A x.

Sebaliknya, setiap bentuk kuadratik Q(x) dapat merekonstruksi bentuk bilinear simetris B(x, y) melalui "identitas polarisasi":

B(x, y) = 1/2 [Q(x + y) - Q(x) - Q(y)]

Bentuk bilinear sangat penting dalam geometri riemann, fisika, dan banyak cabang matematika lainnya.

2. Bentuk Kuadratik atas Bidang Lain

Sejauh ini, kita telah membahas bentuk kuadratik di atas bilangan real. Namun, konsep ini dapat diperluas ke bidang matematika lainnya:

Bilangan Kompleks: Dalam kasus bilangan kompleks, kita sering berurusan dengan "bentuk Hermitian" alih-alih bentuk kuadratik. Bentuk Hermitian didefinisikan sebagai xᴴ A x, di mana xᴴ adalah transpose konjugat dari x ( Hermitian conjugate), dan A adalah matriks Hermitian (Aᴴ = A). Bentuk Hermitian selalu menghasilkan nilai real. Mereka memiliki sifat-sifat klasifikasi yang analog dengan bentuk kuadratik real, seperti definit positif, tetapi dengan nilai eigen real dan vektor eigen ortogonal. Ini sangat penting dalam mekanika kuantum.
Lapangan Terbatas (Finite Fields): Bentuk kuadratik di atas lapangan terbatas (seperti Z_p, bilangan bulat modulo prima p) adalah area studi yang penting dalam teori bilangan, kriptografi, dan teori pengkodean. Klasifikasi dan sifat-sifatnya bisa sangat berbeda dari kasus real.
Bilangan P-adic: Dalam teori bilangan aljabar, bentuk kuadratik atas bilangan p-adic juga merupakan topik penelitian aktif.

3. Generalisasi ke Ruang Fungsi

Konsep bentuk kuadratik dapat digeneralisasi ke ruang yang lebih abstrak, seperti ruang fungsi tak hingga dimensi. Dalam konteks ini, bentuk kuadratik dapat muncul sebagai integral yang melibatkan fungsi, misalnya:

Q(f) = ∫ f(x)² dx

Atau bentuk yang lebih kompleks seperti dalam kalkulus variasi atau persamaan diferensial parsial, di mana energi atau fungsional dapat dinyatakan sebagai bentuk kuadratik yang melibatkan turunan fungsi.

4. Aljabar Kuadratik dan Geometri Aljabar

Studi tentang bentuk kuadratik memimpin langsung ke konsep "aljabar kuadratik" dan merupakan jembatan ke "geometri aljabar". Permukaan dan kurva yang didefinisikan oleh bentuk kuadratik adalah objek fundamental dalam geometri aljabar. Klasifikasi bentuk kuadratik juga terkait dengan klasifikasi varietas aljabar.

5. Kuadratik Tipe Homogen (Homogeneous Quadratic Type)

Dalam konteks yang lebih abstrak dari grup Lie dan aljabar Lie, bentuk kuadratik juga dapat didefinisikan dan dipelajari, seringkali terkait dengan struktur produk internal pada ruang vektor dan dampaknya pada geometri ruang tersebut.

Pengembangan ini menunjukkan bahwa bentuk kuadratik adalah topik yang sangat subur, dengan koneksi ke hampir setiap cabang matematika modern. Mereka menyediakan kerangka kerja yang elegan dan kuat untuk menganalisis struktur berderajat dua, yang muncul secara universal di alam dan dalam model-model ilmiah.

Kesimpulan

Perjalanan kita melalui dunia bentuk kuadratik telah mengungkap betapa esensial dan serbagunanya konsep ini dalam matematika dan berbagai disiplin ilmu lainnya. Dari definisi formalnya sebagai polinomial homogen berderajat dua hingga representasinya yang elegan melalui matriks simetris, bentuk kuadratik menyediakan kerangka kerja yang kuat untuk memahami dan menganalisis fenomena yang melibatkan hubungan kuadratik.

Kita telah melihat bagaimana klasifikasi bentuk kuadratik—definit positif, definit negatif, semidefinit, dan indefinit—bukan hanya sekadar kategori, melainkan kunci untuk mengidentifikasi sifat-sifat mendasar. Kriteria nilai eigen dan minor utama Sylvester memberikan alat diagnostik yang ampuh, sementara transformasi ke bentuk kanonik melalui diagonalisasi atau metode Lagrange menunjukkan bagaimana struktur intrinsik bentuk kuadratik dapat disederhanakan dan diungkap, yang dikukuhkan oleh Hukum Inersia Sylvester.

Aplikasi bentuk kuadratik meluas dari inti matematika ke jantung fisika, statistika, rekayasa, dan ilmu komputer. Di bidang optimisasi, mereka menjadi fondasi uji turunan kedua untuk menemukan maksimum atau minimum. Dalam fisika, mereka menggambarkan energi dan inersia. Dalam statistika, mereka membentuk dasar distribusi probabilitas multivariat dan uji hipotesis. Dan dalam geometri, mereka secara indah memodelkan kurva dan permukaan dasar.

Pengembangan lebih lanjut ke bentuk bilinear, bentuk Hermitian, dan eksplorasi di atas lapangan-lapangan matematika yang berbeda menunjukkan kedalaman dan adaptabilitas konsep ini. Bentuk kuadratik bukan hanya alat, tetapi juga bahasa yang memungkinkan kita untuk mengungkapkan dan menganalisis kompleksitas dunia di sekitar kita dengan presisi matematis.

Dengan pemahaman yang kokoh tentang bentuk kuadratik, kita dilengkapi dengan wawasan yang lebih dalam tentang struktur aljabar dan geometris, membuka jalan untuk memecahkan masalah yang lebih kompleks dan mengembangkan model yang lebih canggih di masa depan. Ini adalah bukti kekuatan dan keindahan matematika yang abadi.