Bentuk Turunan: Panduan Lengkap Konsep, Aturan & Aplikasi

1. Pengantar Konsep Turunan

Untuk memahami inti dari turunan, mari kita bayangkan sebuah skenario sehari-hari. Anda sedang mengendarai mobil di jalan raya. Pada suatu momen yang sangat spesifik, pandangan Anda tertuju pada speedometer yang menunjukkan angka, misalnya 80 km/jam. Angka ini bukanlah kecepatan rata-rata perjalanan Anda dari titik awal hingga momen tersebut, melainkan representasi akurat dari kecepatan Anda *tepat pada saat itu*. Inilah esensi fundamental dari turunan: kemampuannya untuk mengukur laju perubahan yang terjadi secara instan, pada satu titik waktu atau kondisi tertentu.

Secara matematis, turunan berfungsi sebagai alat untuk mengukur tingkat sensitivitas perubahan pada output suatu fungsi (nilai y) terhadap perubahan pada inputnya (nilai x). Apabila kita memiliki sebuah fungsi yang dinyatakan sebagai y = f(x), maka turunan dari f(x) terhadap x akan secara presisi menginformasikan kepada kita seberapa cepat nilai y berubah ketika nilai x mengalami sedikit pergeseran.

1.1. Laju Perubahan Rata-rata vs. Laju Perubahan Sesaat

Untuk menyelami konsep turunan secara mendalam, sangat krusial untuk membedakan antara dua jenis laju perubahan: laju perubahan rata-rata dan laju perubahan sesaat. Perbedaan ini adalah jembatan menuju pemahaman definisi formal turunan.

• Laju Perubahan Rata-rata: Konsep ini menggambarkan perubahan total suatu kuantitas yang dibagi dengan interval waktu atau perubahan dalam kuantitas lain yang memicu perubahan tersebut. Misalnya, jika Anda menempuh jarak 200 kilometer dalam waktu 4 jam, laju perubahan rata-rata Anda (kecepatan rata-rata) adalah 50 km/jam. Ini adalah perhitungan perubahan total selama periode waktu yang terukur. Formula umumnya adalah Δy / Δx = (f(x + h) - f(x)) / h, di mana Δx = h melambangkan interval perubahan pada variabel independen x.
• Laju Perubahan Sesaat: Berbeda dengan rata-rata, laju perubahan sesaat merujuk pada laju perubahan yang terjadi pada satu titik waktu atau satu nilai input yang sangat spesifik dan tanpa durasi. Kembali ke contoh mobil, speedometer Anda menampilkan laju perubahan sesaat. Untuk bertransformasi dari laju perubahan rata-rata menjadi laju perubahan sesaat, kita harus membayangkan interval perubahan h menjadi sangat, sangat kecil, mendekati nol.

Gagasan fundamental untuk "membuat h mendekati nol" ini adalah inti dari konsep limit, yang menjadi fondasi matematis utama bagi definisi turunan. Tanpa pemahaman limit, turunan hanyalah angka tanpa makna yang mendalam.

1.2. Gradien Garis Singgung

Dalam ranah geometri, turunan memiliki interpretasi visual yang sangat kuat dan intuitif: ia secara tepat merepresentasikan gradien, atau kemiringan, dari garis singgung pada suatu kurva di titik tertentu. Garis singgung adalah sebuah garis lurus yang "menyentuh" kurva pada satu titik tanpa memotongnya (setidaknya di lingkungan terdekat dari titik sentuhan tersebut).

Ketika kita menghitung gradien garis sekan (sebuah garis yang memotong kurva di dua titik), kita menggunakan formula klasik (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁). Formula ini, dalam konteks fungsi, dapat ditulis sebagai (f(x+h) - f(x)) / h. Kunci pemahaman turunan adalah saat kita membiarkan kedua titik potong garis sekan tersebut semakin mendekat satu sama lain, hingga pada akhirnya menyatu menjadi satu titik. Pada momen kritis ini, garis sekan tersebut akan bertransformasi menjadi garis singgung. Gradien garis singgung inilah yang secara fundamental didefinisikan sebagai turunan dari fungsi pada titik tersebut.

Secara historis, Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz secara independen mengembangkan kalkulus pada abad ke-17. Newton lebih fokus pada aplikasi fisika dan konsep "fluksion" (laju perubahan), sementara Leibniz mengembangkan notasi yang lebih sistematis dan mendekati apa yang kita gunakan saat ini. Kontribusi keduanya adalah tonggak penting dalam sejarah matematika.

2. Definisi Formal Turunan Menggunakan Limit

Berdasarkan diskusi kita mengenai laju perubahan sesaat dan gradien garis singgung, kita kini siap untuk merumuskan definisi formal turunan yang kokoh, dibangun di atas pondasi limit. Turunan dari fungsi f(x) terhadap x, yang secara umum dinotasikan sebagai f'(x) (dibaca "f aksen x") atau dy/dx, secara matematis didefinisikan sebagai:

f'(x) = lim (h → 0) [f(x + h) - f(x)] / h

Mari kita analisis setiap komponen dari definisi ini untuk memahami makna yang terkandung di dalamnya:

• f(x + h) - f(x): Bagian ini merepresentasikan perubahan nilai output fungsi f ketika input x mengalami perubahan kecil sebesar h. Perubahan ini sering disimbolkan sebagai Δy (delta y).
• h: Ini melambangkan perubahan nilai pada variabel input x. Variabel ini sering dilambangkan sebagai Δx (delta x).
• [f(x + h) - f(x)] / h: Ekspresi ini secara keseluruhan menggambarkan laju perubahan rata-rata dari fungsi f pada interval [x, x + h]. Ini adalah gradien garis sekan yang kita bicarakan sebelumnya.
• lim (h → 0): Ini adalah operator limit yang menjadi elemen krusial dan kunci yang mentransformasi laju perubahan rata-rata menjadi laju perubahan sesaat. Dengan mengambil limit saat h mendekati nol, kita secara fundamental mengamati apa yang terjadi pada laju perubahan rata-rata saat interval perubahan (h) menjadi sangat, sangat kecil, mendekati titik nol tanpa pernah benar-benar mencapainya.

Jika limit ini terdefinisi dan memiliki nilai yang spesifik (yaitu, limitnya ada), maka fungsi f(x) dikatakan dapat diturunkan (differentiable) pada titik x tersebut. Penting untuk dicatat bahwa sebuah fungsi yang dapat diturunkan di suatu titik pasti juga kontinu di titik tersebut, namun kebalikannya tidak selalu benar (fungsi bisa kontinu tetapi tidak dapat diturunkan, misalnya pada titik tajam atau "sudut").

2.1. Kondisi Agar Turunan Tidak Ada

Turunan suatu fungsi tidak akan ada di titik tertentu jika limit dalam definisi di atas tidak ada. Beberapa skenario umum di mana turunan gagal eksis adalah:

• Titik Sudut (Sharp Corners): Misalnya, fungsi nilai mutlak f(x) = |x| pada x = 0. Gradien berubah secara drastis dari -1 ke 1 di titik tersebut, sehingga garis singgung tidak terdefinisi secara unik.
• Cusp (Puncak Tajam): Mirip dengan titik sudut, tetapi perubahan gradien lebih ekstrem, seringkali melibatkan pangkat pecahan seperti f(x) = x^(2/3) pada x = 0.
• Garis Singgung Vertikal: Jika garis singgung pada suatu titik adalah vertikal, gradiennya tak terhingga, sehingga turunan tidak terdefinisi. Contoh: f(x) = x^(1/3) pada x = 0.
• Diskontinuitas: Jika fungsi tidak kontinu pada suatu titik, maka fungsi tersebut pasti tidak dapat diturunkan di titik tersebut. Ini karena agar limit definisi turunan ada, fungsi harus "cukup mulus" di sekitar titik tersebut, dan diskontinuitas mencegah hal ini.

2.2. Contoh Perhitungan Turunan Menggunakan Definisi Limit

Mari kita gunakan definisi limit untuk menemukan turunan dari beberapa fungsi dasar, yang akan menjadi fondasi bagi aturan-aturan yang lebih praktis nanti.

Contoh 1: Turunan dari Fungsi Konstan

Misalkan kita memiliki fungsi konstan f(x) = c, di mana c adalah sebuah konstanta (bilangan real apa pun).

f'(x) = lim (h → 0) [f(x + h) - f(x)] / h
f'(x) = lim (h → 0) [c - c] / h
f'(x) = lim (h → 0) [0] / h
f'(x) = lim (h → 0) 0
f'(x) = 0

Kesimpulan: Turunan dari fungsi konstan selalu nol. Ini sangat intuitif; sebuah fungsi konstan tidak mengalami perubahan nilai, sehingga laju perubahannya (gradiennya) pasti nol di setiap titik.

Contoh 2: Turunan dari Fungsi Identitas

Selanjutnya, mari kita coba fungsi identitas f(x) = x.

f'(x) = lim (h → 0) [f(x + h) - f(x)] / h
f'(x) = lim (h → 0) [(x + h) - x] / h
f'(x) = lim (h → 0) [h] / h
f'(x) = lim (h → 0) 1
f'(x) = 1

Kesimpulan: Turunan dari f(x) = x adalah 1. Ini juga masuk akal secara geometris, karena gradien garis lurus y = x adalah 1 di setiap titik.

Contoh 3: Turunan dari Fungsi Kuadrat

Sekarang, kita akan menghitung turunan dari fungsi kuadrat f(x) = x².

f'(x) = lim (h → 0) [f(x + h) - f(x)] / h
f'(x) = lim (h → 0) [(x + h)² - x²] / h
f'(x) = lim (h → 0) [x² + 2xh + h² - x²] / h
f'(x) = lim (h → 0) [2xh + h²] / h
f'(x) = lim (h → 0) [h(2x + h)] / h
f'(x) = lim (h → 0) (2x + h)
f'(x) = 2x + 0
f'(x) = 2x

Kesimpulan: Turunan dari f(x) = x² adalah 2x. Hasil ini sangat menarik karena menunjukkan bahwa kemiringan garis singgung pada kurva parabola y = x² tidak konstan, melainkan berubah tergantung pada nilai x. Misalnya, di x=1, kemiringan adalah 2(1)=2; di x=2, kemiringan adalah 2(2)=4; dan di x=-1, kemiringan adalah 2(-1)=-2. Ini mencerminkan sifat kurva yang melengkung.

3. Notasi Turunan

Seiring perkembangan kalkulus, berbagai notasi telah diperkenalkan untuk menyatakan turunan. Setiap notasi memiliki karakteristik unik, kegunaan, dan sejarahnya sendiri, yang seringkali dipilih berdasarkan konteks atau preferensi pribadi. Memahami berbagai notasi ini akan memudahkan pembacaan berbagai sumber matematis.

• Notasi Leibniz: Ini adalah salah satu notasi tertua dan paling deskriptif, diperkenalkan oleh Gottfried Wilhelm Leibniz. Notasi ini sangat populer karena secara intuitif menunjukkan hubungan antara perubahan infinitesimal pada variabel dependen dan independen.
  • dy/dx: Jika y = f(x), ini dibaca "turunan y terhadap x". Notasi ini secara gamblang mengindikasikan bahwa turunan adalah rasio dari perubahan diferensial kecil dy terhadap perubahan diferensial kecil dx. Hal ini menekankan bahwa turunan adalah laju perubahan.
  • d/dx [f(x)]: Notasi ini merepresentasikan operator turunan d/dx yang diterapkan pada fungsi f(x).

  Kelebihan utama notasi Leibniz adalah kejelasannya dalam konteks aturan rantai dan turunan implisit, karena secara eksplisit menunjukkan variabel independen mana yang menjadi dasar diferensiasi. Misalnya, dy/dt jelas menunjukkan turunan y terhadap waktu t.

• Notasi Lagrange: Ini adalah notasi yang mungkin paling sering ditemui dalam buku teks matematika dasar dan aljabar diferensial, diperkenalkan oleh Joseph-Louis Lagrange. Notasi ini ringkas dan sangat efisien.
  • f'(x): Dibaca "f aksen x". Ini menunjukkan turunan pertama dari fungsi f.
  • f''(x): Dibaca "f dobel aksen x", untuk turunan kedua.
  • f'''(x): Dibaca "f tripel aksen x", untuk turunan ketiga.
  • f^(n)(x): Untuk turunan ke-n, khususnya ketika n lebih besar dari tiga, di mana penulisan aksen menjadi tidak praktis.

  Keringkasan notasi ini sangat nyaman untuk menunjukkan turunan dari suatu fungsi tanpa perlu secara eksplisit menyebutkan variabel independennya setiap saat, meskipun variabel independen tetap diasumsikan (misalnya, terhadap x jika fungsi adalah f(x)).

• Notasi Newton: Notasi ini secara historis diperkenalkan oleh Isaac Newton dan sangat umum digunakan dalam fisika dan rekayasa, terutama untuk menunjukkan turunan terhadap waktu.
  • ẋ: Sebuah titik di atas variabel menunjukkan turunan pertama terhadap waktu (biasanya t). Contoh: ẋ mewakili laju perubahan posisi, yaitu kecepatan.
  • ẍ: Dua titik di atas variabel menunjukkan turunan kedua terhadap waktu. Contoh: ẍ mewakili laju perubahan kecepatan, yaitu percepatan.

  Meskipun efisien untuk turunan waktu, notasi ini kurang umum dalam matematika murni kecuali dalam konteks dinamika atau sistem yang berubah terhadap waktu.

• Notasi Euler: Terkadang juga digunakan, diperkenalkan oleh Leonhard Euler. Notasi ini lebih bersifat operasional, memperlakukan turunan sebagai sebuah operator.
  • D_x f atau D f(x): Operator D menunjukkan operasi turunan, dan subskrip x mengindikasikan variabel diferensiasi.
  • D_x² f: Untuk turunan kedua.

  Notasi ini kurang umum dibandingkan notasi Lagrange dan Leibniz tetapi dapat ditemui dalam beberapa buku teks yang menekankan aspek operasional turunan.

Dalam sisa artikel ini, kita akan banyak menggunakan kombinasi notasi Lagrange (f'(x)) dan notasi Leibniz (dy/dx) karena keduanya merupakan yang paling umum dan saling melengkapi dalam berbagai konteks matematis.

4. Aturan-aturan Dasar Turunan

Meskipun definisi limit memberikan pemahaman fundamental tentang turunan, menghitung turunan setiap fungsi menggunakan definisi tersebut bisa jadi proses yang panjang dan rumit, terutama untuk fungsi yang lebih kompleks. Untungnya, para matematikawan telah mengembangkan serangkaian aturan turunan yang memungkinkan kita untuk menghitung derivatif dengan cara yang jauh lebih efisien dan sistematis. Aturan-aturan ini adalah inti dari kalkulus diferensial praktis.

4.1. Aturan Konstanta

Aturan ini adalah yang paling sederhana dan paling dasar. Jika kita memiliki fungsi konstan f(x) = c (di mana c adalah bilangan real konstanta), maka turunan pertamanya adalah nol.

d/dx (c) = 0

Contoh:
1. Jika f(x) = 7, maka f'(x) = 0
2. Jika y = -√5, maka dy/dx = 0
3. Jika g(t) = π (sebuah konstanta), maka g'(t) = 0

Ini konsisten dengan interpretasi geometris: gradien garis horizontal (fungsi konstan) selalu nol.

4.2. Aturan Pangkat (Power Rule)

Aturan pangkat adalah salah satu aturan yang paling sering digunakan dan sangat powerful. Jika kita memiliki fungsi dalam bentuk f(x) = x^n (di mana n adalah bilangan real apa pun), maka turunan pertamanya adalah n dikalikan x dengan pangkat (n-1).

d/dx (x^n) = n * x^(n-1)

Contoh:
1. Jika f(x) = x³, maka f'(x) = 3 * x^(3-1) = 3x²
2. Jika y = x, ini bisa ditulis sebagai x¹, maka dy/dx = 1 * x^(1-1) = 1 * x^0 = 1 * 1 = 1
3. Jika g(x) = √x, yang bisa ditulis sebagai x^(1/2), maka g'(x) = (1/2) * x^((1/2)-1) = (1/2) * x^(-1/2) = 1 / (2√x)
4. Jika h(x) = 1/x², yang bisa ditulis sebagai x^(-2), maka h'(x) = -2 * x^(-2-1) = -2x⁻³ = -2/x³

Aturan ini berlaku untuk semua eksponen real, baik positif, negatif, integer, maupun pecahan.

4.3. Aturan Perkalian dengan Konstanta

Jika kita memiliki fungsi yang merupakan konstanta dikalikan dengan fungsi lain f(x) = c * g(x) (di mana c adalah konstanta dan g(x) adalah fungsi yang dapat diturunkan), maka turunan dari f(x) adalah konstanta tersebut dikalikan dengan turunan dari g(x).

d/dx [c * g(x)] = c * d/dx [g(x)] = c * g'(x)

Contoh:
1. Jika f(x) = 5x³, kita tahu d/dx(x³) = 3x², maka f'(x) = 5 * (3x²) = 15x²
2. Jika y = -2√x, kita tahu d/dx(√x) = 1 / (2√x), maka dy/dx = -2 * (1 / (2√x)) = -1/√x

4.4. Aturan Penjumlahan dan Pengurangan

Turunan dari jumlah atau selisih dua (atau lebih) fungsi adalah jumlah atau selisih dari turunan masing-masing fungsi. Jika f(x) = g(x) ± h(x) (di mana g(x) dan h(x) adalah fungsi yang dapat diturunkan), maka:

d/dx [g(x) ± h(x)] = g'(x) ± h'(x)

Contoh:
Jika f(x) = x⁴ + 3x² - 5x + 7
Maka turunan dari setiap suku dapat dihitung secara terpisah:
d/dx(x⁴) = 4x³
d/dx(3x²) = 3 * 2x = 6x
d/dx(5x) = 5 * 1 = 5
d/dx(7) = 0

Jadi, f'(x) = 4x³ + 6x - 5

Aturan ini sangat memudahkan karena kita dapat menurunkan polinomial suku demi suku.

4.5. Aturan Perkalian (Product Rule)

Ketika kita memiliki fungsi yang merupakan hasil kali dari dua fungsi yang dapat diturunkan, f(x) = g(x) * h(x), turunannya tidak sesederhana mengalikan turunan masing-masing fungsi. Rumusnya adalah:

d/dx [g(x) * h(x)] = g'(x) * h(x) + g(x) * h'(x)

Aturan ini sering diingat dengan frasa "turunan yang pertama kali yang kedua ditambah yang pertama kali turunan yang kedua".

Contoh:
Jika f(x) = (3x² + 5)(x³ - 2x)
Misalkan g(x) = 3x² + 5, maka g'(x) = 6x
Misalkan h(x) = x³ - 2x, maka h'(x) = 3x² - 2

Menerapkan aturan perkalian:
f'(x) = g'(x)h(x) + g(x)h'(x)
f'(x) = (6x)(x³ - 2x) + (3x² + 5)(3x² - 2)
f'(x) = (6x⁴ - 12x²) + (9x⁴ - 6x² + 15x² - 10)
f'(x) = 6x⁴ - 12x² + 9x⁴ + 9x² - 10
f'(x) = 15x⁴ - 3x² - 10

Sebagai alternatif, kita bisa saja mengalikan kedua faktor terlebih dahulu dan kemudian menurunkan polinomial hasilnya, tetapi untuk fungsi yang lebih kompleks, aturan perkalian jauh lebih efisien.

4.6. Aturan Pembagian (Quotient Rule)

Mirip dengan aturan perkalian, turunan dari rasio dua fungsi yang dapat diturunkan, f(x) = g(x) / h(x) (dengan h(x) ≠ 0), memiliki rumus yang spesifik:

d/dx [g(x) / h(x)] = [g'(x) * h(x) - g(x) * h'(x)] / [h(x)]²

Aturan ini sering diingat dengan ungkapan "turunan atas kali bawah dikurangi atas kali turunan bawah, semua dibagi bawah kuadrat".

Contoh:
Jika f(x) = (x² + 1) / (2x - 3)
Misalkan g(x) = x² + 1, maka g'(x) = 2x
Misalkan h(x) = 2x - 3, maka h'(x) = 2

Menerapkan aturan pembagian:
f'(x) = [g'(x)h(x) - g(x)h'(x)] / [h(x)]²
f'(x) = [(2x)(2x - 3) - (x² + 1)(2)] / (2x - 3)²
f'(x) = [4x² - 6x - (2x² + 2)] / (2x - 3)²
f'(x) = [4x² - 6x - 2x² - 2] / (2x - 3)²
f'(x) = (2x² - 6x - 2) / (2x - 3)²

4.7. Aturan Rantai (Chain Rule)

Aturan rantai adalah salah satu aturan turunan yang paling penting dan paling sering digunakan, terutama saat kita berhadapan dengan fungsi komposit, yaitu fungsi yang tersusun dari fungsi lain (fungsi di dalam fungsi). Jika y = f(u) dan u = g(x), sehingga y secara efektif adalah f(g(x)), maka turunan y terhadap x adalah:

dy/dx = (dy/du) * (du/dx)

Dalam notasi Lagrange, jika F(x) = f(g(x)), maka F'(x) = f'(g(x)) * g'(x).

Prinsip dasarnya adalah: turunkan fungsi "luar" terlebih dahulu (terhadap argumennya, yang adalah fungsi "dalam" itu sendiri), biarkan fungsi "dalam" tetap, lalu kalikan hasilnya dengan turunan dari fungsi "dalam" tersebut (terhadap x).

Contoh 1:
Jika y = (2x + 1)⁵
Identifikasi fungsi luar dan dalam:
Fungsi luar: f(u) = u⁵
Fungsi dalam: u = g(x) = 2x + 1

Turunkan fungsi luar terhadap u:
dy/du = 5u⁴

Turunkan fungsi dalam terhadap x:
du/dx = 2

Terapkan aturan rantai:
dy/dx = (dy/du) * (du/dx) = 5u⁴ * 2 = 10u⁴
Substitusikan kembali u = 2x + 1:
dy/dx = 10(2x + 1)⁴

Contoh 2:
Jika f(x) = √(x³ - 4x) = (x³ - 4x)^(1/2)
Identifikasi fungsi luar dan dalam:
Fungsi luar: f(u) = u^(1/2)
Fungsi dalam: u = g(x) = x³ - 4x

Turunkan fungsi luar terhadap u:
df/du = (1/2)u^(-1/2)

Turunkan fungsi dalam terhadap x:
du/dx = 3x² - 4

Terapkan aturan rantai:
f'(x) = df/du * du/dx = (1/2)u^(-1/2) * (3x² - 4)
Substitusikan kembali u = x³ - 4x:
f'(x) = (1/2)(x³ - 4x)^(-1/2) * (3x² - 4)
f'(x) = (3x² - 4) / (2√(x³ - 4x))

Aturan rantai dapat diterapkan secara berulang kali jika ada lebih dari dua fungsi yang bersarang (fungsi di dalam fungsi di dalam fungsi, dst.). Misalnya, jika y = f(g(h(x))), maka turunannya akan menjadi dy/dx = f'(g(h(x))) * g'(h(x)) * h'(x).

Contoh 3 (Aturan Rantai Bertingkat):
Jika y = sin³(4x)
Ini dapat ditulis sebagai y = (sin(4x))³
Identifikasi lapisan-lapisan fungsi:
Lapisan terluar: u³
Lapisan tengah: sin(v)
Lapisan terdalam: 4x

Langkah 1: Turunkan fungsi terluar (u³), yaitu 3u²
   dy/du = 3(sin(4x))² = 3sin²(4x)

Langkah 2: Turunkan fungsi tengah (sin(v)), yaitu cos(v)
   d/d(4x) [sin(4x)] = cos(4x)

Langkah 3: Turunkan fungsi terdalam (4x), yaitu 4
   d/dx [4x] = 4

Kalikan semua hasil turunan:
dy/dx = 3sin²(4x) * cos(4x) * 4
dy/dx = 12sin²(4x)cos(4x)

5. Turunan Fungsi Khusus

Selain aturan-aturan dasar turunan, ada juga turunan spesifik untuk jenis-jenis fungsi tertentu yang sangat sering muncul dan esensial dalam berbagai bidang matematika dan ilmu pengetahuan lainnya. Mengingat dan memahami turunan-turunan ini akan sangat mempercepat proses perhitungan.

5.1. Turunan Fungsi Trigonometri

Berikut adalah turunan dari enam fungsi trigonometri dasar. Penting untuk menghafal turunan-turunan ini, dan ingat bahwa aturan rantai harus diterapkan jika argumen fungsi trigonometri bukan hanya x.

• d/dx (sin x) = cos x
• d/dx (cos x) = -sin x
• d/dx (tan x) = sec² x
• d/dx (cot x) = -csc² x
• d/dx (sec x) = sec x tan x
• d/dx (csc x) = -csc x cot x

Penting untuk dicatat bahwa turunan ini berlaku ketika sudut diukur dalam radian. Jika sudut dalam derajat, faktor konversi π/180 harus dipertimbangkan.

Contoh 1:
Jika f(x) = sin(3x² + 5)
Ini adalah fungsi komposit, jadi kita gunakan aturan rantai.
Misalkan u = 3x² + 5, maka f(x) = sin(u)
Turunan f terhadap u: df/du = cos(u)
Turunan u terhadap x: du/dx = 6x

Maka, f'(x) = cos(u) * 6x = 6x cos(3x² + 5)

Contoh 2:
Jika y = tan(5x)
Misalkan u = 5x, maka y = tan(u)
dy/du = sec²(u)
du/dx = 5

dy/dx = sec²(u) * 5 = 5sec²(5x)

5.2. Turunan Fungsi Eksponensial

Fungsi eksponensial memainkan peran krusial dalam model pertumbuhan dan peluruhan. Basis logaritma alami, e (sekitar 2.71828), memiliki sifat turunan yang unik.

• Jika f(x) = e^x, maka turunan pertamanya adalah f'(x) = e^x. Ini adalah satu-satunya fungsi non-trivial yang sama dengan turunannya sendiri, menjadikannya sangat istimewa.
• Jika f(x) = a^x (di mana a adalah konstanta positif selain 1), maka f'(x) = a^x * ln(a).

Ketika digabungkan dengan aturan rantai, turunan ini menjadi lebih umum:

• Jika f(x) = e^(g(x)), maka f'(x) = e^(g(x)) * g'(x).
• Jika f(x) = a^(g(x)), maka f'(x) = a^(g(x)) * ln(a) * g'(x).

Contoh:
Jika f(x) = e^(x² + 3x)
Misalkan u = x² + 3x, maka f(x) = e^u
Turunan f terhadap u: df/du = e^u
Turunan u terhadap x: du/dx = 2x + 3

Maka, f'(x) = e^u * (2x + 3) = (2x + 3)e^(x² + 3x)

5.3. Turunan Fungsi Logaritma

Fungsi logaritma adalah invers dari fungsi eksponensial dan juga memiliki aturan turunan yang penting.

• Jika f(x) = ln|x| (logaritma alami, basis e), maka f'(x) = 1/x (untuk x ≠ 0). Menggunakan nilai mutlak memastikan domain logaritma tetap valid.
• Jika f(x) = log_a|x| (logaritma basis a), maka f'(x) = 1 / (x * ln(a)). Ini dapat diturunkan dari aturan perubahan basis logaritma: log_a x = ln x / ln a.

Dengan aturan rantai:

• Jika f(x) = ln(g(x)), maka f'(x) = g'(x) / g(x).

Contoh 1:
Jika f(x) = ln(x⁵ - 2x)
Misalkan u = x⁵ - 2x, maka f(x) = ln(u)
Turunan f terhadap u: df/du = 1/u
Turunan u terhadap x: du/dx = 5x⁴ - 2

Maka, f'(x) = (1/u) * (5x⁴ - 2) = (5x⁴ - 2) / (x⁵ - 2x)

Contoh 2:
Jika y = log₂(x² + 7)
Menggunakan aturan log_a(u) = 1 / (u ln a) * u'
Maka, dy/dx = 1 / ((x² + 7) ln 2) * (2x)
dy/dx = 2x / ((x² + 7) ln 2)

5.4. Turunan Fungsi Invers Trigonometri

Fungsi invers trigonometri (sering disebut arcus fungsi) juga memiliki turunan standar yang penting dalam beberapa aplikasi, terutama dalam integrasi.

• d/dx (arcsin x) = 1 / √(1 - x²)
• d/dx (arccos x) = -1 / √(1 - x²)
• d/dx (arctan x) = 1 / (1 + x²)
• d/dx (arccot x) = -1 / (1 + x²)
• d/dx (arcsec x) = 1 / (|x|√(x² - 1))
• d/dx (arccsc x) = -1 / (|x|√(x² - 1))

Seperti biasa, aturan rantai harus diterapkan jika argumennya bukan hanya x.

Contoh:
Jika f(x) = arctan(e^x)
Misalkan u = e^x, maka f(x) = arctan(u)
Turunan f terhadap u: df/du = 1 / (1 + u²)
Turunan u terhadap x: du/dx = e^x

Maka, f'(x) = (1 / (1 + u²)) * e^x = e^x / (1 + (e^x)²) = e^x / (1 + e^(2x))

6. Turunan Tingkat Tinggi

Konsep turunan tidak berhenti pada turunan pertama. Turunan dari sebuah fungsi f(x), yaitu f'(x), itu sendiri adalah sebuah fungsi baru. Jika fungsi f'(x) ini juga kontinu dan "cukup mulus" (dapat diturunkan), kita dapat mencari turunannya, yang kita sebut sebagai turunan kedua dari f(x). Proses ini dapat dilanjutkan berulang kali untuk mendapatkan turunan tingkat yang lebih tinggi.

• Turunan Pertama: Mengukur laju perubahan sesaat fungsi. Dinotasikan sebagai f'(x) atau dy/dx.
• Turunan Kedua: Ini adalah turunan dari turunan pertama. Mengukur laju perubahan laju perubahan, atau percepatan dalam konteks fisika. Dinotasikan sebagai f''(x) atau d²y/dx².
• Turunan Ketiga: Ini adalah turunan dari turunan kedua. Dalam fisika, ini disebut "jerk" (hentakan), yang mengukur laju perubahan percepatan. Dinotasikan sebagai f'''(x) atau d³y/dx³.
• Turunan ke-n: Untuk turunan yang lebih tinggi dari ketiga, kita menggunakan notasi f^(n)(x) atau dⁿy/dxⁿ.

Contoh:
Jika f(x) = x⁵ - 4x⁴ + 3x³ - 5x² + 2x - 1

Turunan pertama:
f'(x) = d/dx (x⁵ - 4x⁴ + 3x³ - 5x² + 2x - 1)
f'(x) = 5x⁴ - 16x³ + 9x² - 10x + 2

Turunan kedua:
f''(x) = d/dx (5x⁴ - 16x³ + 9x² - 10x + 2)
f''(x) = 20x³ - 48x² + 18x - 10

Turunan ketiga:
f'''(x) = d/dx (20x³ - 48x² + 18x - 10)
f'''(x) = 60x² - 96x + 18

Turunan keempat:
f^(4)(x) = d/dx (60x² - 96x + 18)
f^(4)(x) = 120x - 96

Turunan kelima:
f^(5)(x) = d/dx (120x - 96)
f^(5)(x) = 120

Turunan keenam dan seterusnya:
f^(6)(x) = 0

6.1. Interpretasi Turunan Kedua (Kecekungan)

Turunan kedua memiliki interpretasi fisik dan geometris yang penting. Dalam konteks fisika, jika s(t) adalah fungsi yang menggambarkan posisi suatu objek sebagai fungsi waktu:

• s'(t) atau v(t) adalah fungsi kecepatan (laju perubahan posisi).
• s''(t) atau v'(t) atau a(t) adalah fungsi percepatan (laju perubahan kecepatan). Percepatan menunjukkan seberapa cepat kecepatan berubah.

Dalam analisis grafik fungsi, turunan kedua adalah kunci untuk memahami konsep kecekungan (concavity) dari suatu kurva:

• Jika f''(x) > 0 pada suatu interval, maka kurva f(x) dikatakan cekung ke atas (concave up) pada interval tersebut. Secara visual, grafik terlihat seperti mangkuk yang menghadap ke atas; garis singgung berada di bawah kurva.
• Jika f''(x) < 0 pada suatu interval, maka kurva f(x) dikatakan cekung ke bawah (concave down) pada interval tersebut. Grafiknya terlihat seperti mangkuk yang menghadap ke bawah; garis singgung berada di atas kurva.
• Titik Belok (Inflection Point): Adalah titik pada kurva di mana kecekungan suatu fungsi berubah (dari cekung ke atas menjadi cekung ke bawah, atau sebaliknya). Pada titik ini, f''(x) = 0 atau f''(x) tidak terdefinisi. Untuk memastikan itu adalah titik belok, harus ada perubahan tanda pada f''(x) di sekitar titik tersebut.

Analisis turunan kedua sangat penting untuk memahami bentuk detail dari grafik fungsi, mengidentifikasi titik belok, dan memvalidasi apakah titik kritis (di mana f'(x) = 0) adalah maksimum atau minimum lokal menggunakan Uji Turunan Kedua.

7. Aplikasi Turunan

Turunan, jauh dari sekadar konsep teoretis abstrak, adalah salah satu alat matematika yang paling kuat dan praktis untuk memecahkan berbagai masalah di dunia nyata. Kemampuannya untuk menganalisis laju perubahan dan mengidentifikasi titik ekstrem membuatnya sangat berharga dalam sains, teknik, ekonomi, dan banyak bidang lainnya.

7.1. Laju Perubahan Terkait (Related Rates)

Masalah laju perubahan terkait melibatkan dua atau lebih kuantitas yang semuanya berubah terhadap waktu dan memiliki hubungan matematis satu sama lain. Dengan menggunakan turunan, kita dapat menemukan laju perubahan yang tidak diketahui dari salah satu kuantitas tersebut berdasarkan laju perubahan yang diketahui dari kuantitas lainnya.

Strategi Pemecahan Masalah Umum:

1. Baca dan Pahami: Bacalah masalah dengan cermat, identifikasi semua informasi yang diberikan (termasuk laju perubahan yang diketahui) dan apa yang diminta (laju perubahan yang tidak diketahui).
2. Gambarkan: Buat sketsa diagram jika memungkinkan untuk memvisualisasikan situasi dan melabeli semua kuantitas yang relevan.
3. Rumuskan Persamaan: Tulis persamaan yang menghubungkan semua kuantitas yang terlibat dalam masalah. Persamaan ini biasanya berasal dari geometri (luas, volume, teorema Pythagoras) atau rumus fisika.
4. Turunkan Secara Implisit: Diferensialkan seluruh persamaan terhadap waktu t (atau variabel independen lainnya jika relevan). Ingatlah untuk menggunakan aturan rantai setiap kali Anda menurunkan variabel yang merupakan fungsi dari t (misalnya, d/dt [r²] = 2r (dr/dt)).
5. Substitusikan dan Selesaikan: Substitusikan semua nilai yang diketahui (termasuk laju perubahan yang diketahui dan nilai kuantitas pada saat yang spesifik) ke dalam persamaan turunan. Kemudian, selesaikan untuk laju perubahan yang tidak diketahui.

Contoh 1: Balon yang Dipompa
Sebuah balon berbentuk bola dipompa sehingga volumenya bertambah dengan laju konstan 10 cm³/detik. Berapa cepat jari-jari balon bertambah ketika jari-jarinya adalah 5 cm?

1.  Informasi:
    *   Laju perubahan volume: dV/dt = 10 cm³/detik (positif karena bertambah)
    *   Kuantitas yang ditanya: dr/dt
    *   Momen spesifik: ketika r = 5 cm

2.  Rumus: Volume bola adalah V = (4/3)πr³

3.  Diferensialkan terhadap waktu t:
    dV/dt = d/dt [(4/3)πr³]
    dV/dt = (4/3)π * 3r² * (dr/dt)  (Menggunakan aturan rantai pada r³)
    dV/dt = 4πr² * dr/dt

4.  Substitusikan nilai yang diketahui:
    10 = 4π(5)² * dr/dt
    10 = 4π(25) * dr/dt
    10 = 100π * dr/dt

5.  Selesaikan untuk dr/dt:
    dr/dt = 10 / (100π)
    dr/dt = 1 / (10π) cm/detik

Jadi, jari-jari balon bertambah dengan laju sekitar 0.0318 cm/detik ketika jari-jarinya 5 cm.

Contoh 2: Tangga yang Bergeser
Sebuah tangga dengan panjang 13 meter bersandar pada dinding vertikal. Bagian bawah tangga mulai bergeser menjauh dari dinding dengan laju 0.5 meter/detik. Seberapa cepat bagian atas tangga bergeser turun ketika bagian bawah tangga berjarak 5 meter dari dinding?

1.  Informasi:
    *   Panjang tangga konstan: L = 13 m
    *   Laju perubahan jarak bawah tangga dari dinding: dx/dt = 0.5 m/detik
    *   Kuantitas yang ditanya: dy/dt
    *   Momen spesifik: ketika x = 5 m

2.  Gambarkan: Ini membentuk segitiga siku-siku antara dinding (y), tanah (x), dan tangga (L).
    Rumus: Teorema Pythagoras: x² + y² = L²
    Karena L = 13, maka x² + y² = 13² = 169

3.  Cari y saat x = 5:
    5² + y² = 169
    25 + y² = 169
    y² = 144
    y = 12 m (ambil nilai positif karena y adalah jarak)

4.  Diferensialkan persamaan terhadap waktu t:
    d/dt (x² + y²) = d/dt (169)
    2x (dx/dt) + 2y (dy/dt) = 0  (Menggunakan aturan rantai pada x² dan y²)

5.  Substitusikan nilai yang diketahui:
    2(5)(0.5) + 2(12)(dy/dt) = 0
    5 + 24 (dy/dt) = 0

6.  Selesaikan untuk dy/dt:
    24 (dy/dt) = -5
    dy/dt = -5 / 24 meter/detik

Nilai negatif menunjukkan bahwa bagian atas tangga bergerak ke bawah. Jadi, bagian atas tangga bergeser turun dengan laju 5/24 meter/detik ketika bagian bawahnya berjarak 5 meter dari dinding.

7.2. Optimasi (Maksimum dan Minimum)

Salah satu aplikasi turunan yang paling powerful dan memiliki dampak ekonomi serta teknis yang besar adalah kemampuan untuk menemukan nilai maksimum atau minimum dari suatu fungsi. Ini sangat relevan dalam masalah optimasi, seperti mencari keuntungan terbesar, meminimalkan biaya produksi, memaksimalkan volume, atau meminimalkan konsumsi bahan bakar.

Langkah-langkah umum untuk menyelesaikan masalah optimasi:

1. Pahami Masalah: Baca dan pahami skenario. Identifikasi kuantitas yang perlu dioptimalkan (dimaksimalkan atau diminimalkan) dan batasan-batasan yang ada.
2. Buat Model Matematika:
   • Definisikan variabel.
   • Tuliskan fungsi yang ingin dioptimalkan dalam bentuk satu variabel. Ini mungkin memerlukan penggunaan batasan untuk mengganti variabel kedua.
   • Tentukan domain yang relevan untuk fungsi tersebut (nilai-nilai yang masuk akal secara fisik atau kontekstual).
3. Temukan Titik Kritis:
   • Cari turunan pertama fungsi tersebut, f'(x).
   • Set f'(x) = 0 dan selesaikan untuk x. Nilai-nilai x ini adalah titik kritis.
   • Cari juga nilai x di mana f'(x) tidak terdefinisi (meskipun ini lebih jarang terjadi dalam masalah optimasi standar).
4. Uji Titik Kritis: Gunakan uji turunan pertama atau uji turunan kedua untuk menentukan apakah setiap titik kritis menghasilkan maksimum lokal, minimum lokal, atau bukan keduanya.
   • Uji Turunan Pertama: Amati tanda f'(x) di sekitar titik kritis c.
     • Jika f'(x) berubah dari positif ke negatif di c, maka f(c) adalah maksimum lokal.
     • Jika f'(x) berubah dari negatif ke positif di c, maka f(c) adalah minimum lokal.
     • Jika f'(x) tidak berubah tanda, f(c) mungkin titik belok.
   • Uji Turunan Kedua: Jika f'(c) = 0, hitung f''(c).
     • Jika f''(c) > 0, maka f(c) adalah minimum lokal.
     • Jika f''(c) < 0, maka f(c) adalah maksimum lokal.
     • Jika f''(c) = 0, uji ini tidak memberikan kesimpulan; gunakan uji turunan pertama.
5. Evaluasi dan Verifikasi: Evaluasi fungsi asli f(x) di semua titik kritis yang valid dan juga di titik-titik ujung domain (jika domainnya tertutup) untuk menemukan nilai maksimum/minimum global. Pastikan jawaban Anda masuk akal dalam konteks masalah.

Contoh 1: Memaksimalkan Volume Kotak
Sebuah perusahaan ingin membuat kotak terbuka (tanpa tutup) dari selembar karton berukuran 10 cm x 10 cm dengan memotong bujursangkar identik dari setiap sudut dan melipat sisinya ke atas. Berapa ukuran sisi potongan bujursangkar yang harus dipotong agar volume kotak menjadi maksimal?

1.  Fungsi yang Dioptimalkan: Volume kotak.
    Variabel: Misalkan x adalah panjang sisi bujursangkar yang dipotong (dalam cm).
    Jika x dipotong dari setiap sudut, maka panjang dan lebar alas kotak akan menjadi (10 - 2x) cm, dan tinggi kotak akan menjadi x cm.
    Fungsi Volume V(x): V(x) = (10 - 2x)(10 - 2x)(x) = (100 - 40x + 4x²)(x)
    V(x) = 4x³ - 40x² + 100x

    Domain yang Relevan:
    x harus positif (x > 0).
    Panjang sisi alas (10 - 2x) juga harus positif, jadi 10 - 2x > 0 => 10 > 2x => x < 5.
    Maka, domain untuk x adalah 0 < x < 5.

2.  Cari Turunan Pertama V'(x):
    V'(x) = d/dx (4x³ - 40x² + 100x)
    V'(x) = 12x² - 80x + 100

3.  Temukan Titik Kritis (V'(x) = 0):
    12x² - 80x + 100 = 0
    Bagi dengan 4 untuk menyederhanakan:
    3x² - 20x + 25 = 0
    Faktorkan persamaan kuadrat ini:
    (3x - 5)(x - 5) = 0
    Ini memberikan dua titik kritis: x = 5/3 atau x = 5.

4.  Uji Titik Kritis:
    Berdasarkan domain (0 < x < 5), titik kritis x = 5 tidak valid. Jadi, kita hanya perlu menguji x = 5/3.
    Gunakan Uji Turunan Kedua:
    V''(x) = d/dx (12x² - 80x + 100) = 24x - 80
    Evaluasi V''(5/3):
    V''(5/3) = 24(5/3) - 80 = 8 * 5 - 80 = 40 - 80 = -40

    Karena V''(5/3) = -40 < 0, maka x = 5/3 cm adalah nilai yang menghasilkan volume maksimum.

5.  Kesimpulan:
    Ukuran sisi bujursangkar yang harus dipotong adalah 5/3 cm agar volume kotak menjadi maksimal.
    Volume maksimalnya adalah V(5/3) = 4(5/3)³ - 40(5/3)² + 100(5/3) = 2000/27 ≈ 74.07 cm³.

7.3. Analisis Grafik Fungsi

Turunan adalah kunci untuk memahami bentuk, perilaku, dan karakteristik penting dari grafik suatu fungsi. Dengan menganalisis turunan pertama dan kedua, kita dapat mengidentifikasi interval di mana fungsi naik atau turun, menemukan titik ekstrem lokal, dan menentukan kecekungan serta titik belok.

• Fungsi Naik/Turun (Uji Turunan Pertama):
  • Jika f'(x) > 0 pada suatu interval, maka fungsi f(x) sedang naik pada interval tersebut (grafik bergerak ke atas dari kiri ke kanan).
  • Jika f'(x) < 0 pada suatu interval, maka fungsi f(x) sedang turun pada interval tersebut (grafik bergerak ke bawah dari kiri ke kanan).
  • Jika f'(x) = 0, fungsi mungkin memiliki titik kritis (maksimum lokal, minimum lokal, atau titik pelana).
• Titik Ekstrem Lokal (Maksimum/Minimum Lokal): Terjadi pada titik kritis di mana f'(x) = 0 atau tidak terdefinisi, dan tanda f'(x) berubah.
  • Perubahan dari f'(x) > 0 ke f'(x) < 0 menunjukkan maksimum lokal.
  • Perubahan dari f'(x) < 0 ke f'(x) > 0 menunjukkan minimum lokal.
• Kecekungan dan Titik Belok (Uji Turunan Kedua): Seperti yang dibahas di bagian sebelumnya, f''(x) menentukan kecekungan dan titik belok.
  • Jika f''(x) > 0, kurva cekung ke atas.
  • Jika f''(x) < 0, kurva cekung ke bawah.
  • Titik belok terjadi di mana f''(x) = 0 atau tidak terdefinisi, dan kecekungan berubah.

Dengan menggabungkan semua informasi dari turunan pertama dan kedua, kita dapat membuat sketsa grafik fungsi yang sangat akurat, bahkan tanpa menggunakan kalkulator grafik.

7.4. Pendekatan Linear (Linear Approximation)

Salah satu aplikasi turunan yang lebih halus adalah kemampuannya untuk memperkirakan nilai suatu fungsi di dekat titik tertentu. Ide utamanya adalah bahwa, jika kita "memperbesar" suatu kurva pada titik tertentu, kurva tersebut akan terlihat hampir seperti garis lurus (garis singgungnya). Oleh karena itu, kita dapat menggunakan persamaan garis singgung sebagai perkiraan untuk nilai fungsi itu sendiri di sekitar titik kontak.

Formula pendekatan linear (atau linearisasi) L(x) dari f(x) di sekitar titik x = a adalah:

L(x) = f(a) + f'(a)(x - a)

Di sini, f(a) adalah nilai fungsi pada titik yang diketahui, dan f'(a) adalah kemiringan garis singgung pada titik tersebut.

Contoh:
Perkirakan nilai √101 menggunakan pendekatan linear.
Kita akan menggunakan fungsi f(x) = √x. Kita tahu nilai f(100) = √100 = 10, jadi kita bisa menggunakan a = 100 karena nilainya dekat dengan 101 dan mudah dihitung.

1.  Cari f(a):
    f(100) = √100 = 10

2.  Cari f'(x) dan f'(a):
    f(x) = x^(1/2)
    f'(x) = (1/2)x^(-1/2) = 1 / (2√x)
    f'(100) = 1 / (2√100) = 1 / (2 * 10) = 1/20 = 0.05

3.  Gunakan formula pendekatan linear:
    L(x) = f(a) + f'(a)(x - a)
    Untuk x = 101, a = 100:
    L(101) = f(100) + f'(100)(101 - 100)
    L(101) = 10 + (1/20)(1)
    L(101) = 10 + 0.05
    L(101) = 10.05

Nilai sebenarnya dari √101 adalah sekitar 10.04987. Jadi, pendekatan linear ini menghasilkan perkiraan yang sangat akurat dengan perhitungan yang relatif sederhana. Pendekatan linear menjadi fondasi untuk deret Taylor yang lebih umum, yang memberikan perkiraan dengan tingkat akurasi yang lebih tinggi menggunakan turunan tingkat tinggi.

7.5. Teorema L'Hôpital

Teorema L'Hôpital adalah alat yang sangat ampuh dalam kalkulus untuk mengevaluasi limit yang berada dalam bentuk tak tentu 0/0 atau ∞/∞. Tanpa teorema ini, beberapa limit akan sangat sulit atau tidak mungkin dihitung.

Teorema L'Hôpital menyatakan bahwa jika lim (x→c) f(x) = 0 dan lim (x→c) g(x) = 0 (atau jika kedua limitnya adalah ±∞), maka:

lim (x→c) [f(x) / g(x)] = lim (x→c) [f'(x) / g'(x)]

Asalkan limit di sisi kanan ada. Penting untuk memastikan bentuk tak tentu 0/0 atau ∞/∞ terlebih dahulu sebelum menerapkan teorema ini.

Contoh 1:
Evaluasi lim (x→0) (sin x / x)

1.  Cek Bentuk Tak Tentu:
    Ketika x → 0, sin x → sin(0) = 0.
    Ketika x → 0, x → 0.
    Bentuknya adalah 0/0, jadi Teorema L'Hôpital dapat diterapkan.

2.  Cari Turunan f'(x) dan g'(x):
    f(x) = sin x, maka f'(x) = cos x
    g(x) = x, maka g'(x) = 1

3.  Terapkan Teorema L'Hôpital:
    lim (x→0) (sin x / x) = lim (x→0) (cos x / 1)
    Substitusikan x = 0:
    = cos(0) / 1
    = 1 / 1
    = 1

Contoh 2:
Evaluasi lim (x→∞) (e^x / x²)

1.  Cek Bentuk Tak Tentu:
    Ketika x → ∞, e^x → ∞.
    Ketika x → ∞, x² → ∞.
    Bentuknya adalah ∞/∞, jadi Teorema L'Hôpital dapat diterapkan.

2.  Aplikasi Pertama:
    f(x) = e^x, f'(x) = e^x
    g(x) = x², g'(x) = 2x
    lim (x→∞) (e^x / x²) = lim (x→∞) (e^x / 2x)
    Masih bentuk ∞/∞.

3.  Aplikasi Kedua (ulangi):
    f'(x) = e^x, f''(x) = e^x
    g'(x) = 2x, g''(x) = 2
    lim (x→∞) (e^x / 2x) = lim (x→∞) (e^x / 2)

4.  Evaluasi Limit Akhir:
    Ketika x → ∞, e^x → ∞, jadi lim (x→∞) (e^x / 2) = ∞.

Jadi, lim (x→∞) (e^x / x²) = ∞. Contoh ini menunjukkan bahwa Teorema L'Hôpital bisa diterapkan berulang kali.

7.6. Diferensial dan Estimasi Perubahan

Konsep diferensial dy dan dx sangat erat kaitannya dengan turunan. Kita tahu bahwa turunan dy/dx adalah laju perubahan sesaat f'(x). Dari sini, kita dapat menulis dy = f'(x) dx. Diferensial dy digunakan untuk memperkirakan perubahan kecil dalam nilai fungsi (Δy) ketika ada perubahan kecil (dx = Δx) pada variabel independen x.

Secara formal, dy adalah perubahan pada garis singgung, sedangkan Δy adalah perubahan aktual pada fungsi. Untuk dx yang sangat kecil, dy ≈ Δy.

Contoh: Estimasi Perubahan Volume Kubus
Sebuah kubus memiliki panjang sisi s = 10 cm. Jika panjang sisi bertambah 0.1 cm, perkirakan perubahan volume kubus menggunakan diferensial.

1.  Fungsi Volume: V = s³
    Nilai Awal: s = 10 cm
    Perubahan Sisi: ds = Δs = 0.1 cm

2.  Cari Turunan dV/ds:
    dV/ds = 3s²

3.  Gunakan Formula Diferensial dV = (dV/ds) * ds:
    dV = 3s² ds
    Substitusikan nilai s = 10 dan ds = 0.1:
    dV = 3(10)² * (0.1)
    dV = 3(100) * 0.1
    dV = 300 * 0.1
    dV = 30 cm³

4.  Bandingkan dengan Perubahan Aktual:
    Volume awal: V_awal = 10³ = 1000 cm³
    Volume akhir: V_akhir = (10 + 0.1)³ = (10.1)³ = 1030.301 cm³
    Perubahan volume aktual: ΔV = V_akhir - V_awal = 1030.301 - 1000 = 30.301 cm³

Diferensial memberikan perkiraan yang sangat dekat (30 cm³) dengan perubahan volume aktual (30.301 cm³). Ini menunjukkan kegunaan diferensial untuk mengestimasi perubahan kecil.

7.7. Aplikasi dalam Ekonomi (Biaya Marjinal dan Pendapatan Marjinal)

Dalam ekonomi, turunan digunakan untuk menganalisis konsep marjinal. Konsep marjinal merujuk pada perubahan tambahan dalam suatu kuantitas yang dihasilkan oleh perubahan unit tunggal dalam kuantitas lainnya.

• Biaya Marjinal: Jika C(x) adalah fungsi biaya total untuk memproduksi x unit barang, maka biaya marjinal adalah turunan pertama dari fungsi biaya, yaitu C'(x) = dC/dx. Ini mengukur perkiraan biaya untuk memproduksi satu unit tambahan dari barang tersebut setelah x unit telah diproduksi.
• Pendapatan Marjinal: Jika R(x) adalah fungsi pendapatan total dari penjualan x unit barang, maka pendapatan marjinal adalah turunan pertama dari fungsi pendapatan, yaitu R'(x) = dR/dx. Ini mengukur perkiraan pendapatan yang diperoleh dari penjualan satu unit tambahan barang.
• Keuntungan Marjinal: Jika P(x) = R(x) - C(x) adalah fungsi keuntungan total, maka keuntungan marjinal adalah P'(x) = R'(x) - C'(x). Pengusaha seringkali mencari titik di mana keuntungan marjinal adalah nol untuk memaksimalkan keuntungan.

Contoh: Optimasi Keuntungan
Misalkan fungsi pendapatan suatu perusahaan adalah R(x) = 100x - 0.5x² dan fungsi biaya adalah C(x) = 10x + 200, di mana x adalah jumlah unit yang diproduksi dan dijual. Tentukan jumlah unit yang harus diproduksi untuk memaksimalkan keuntungan.

1.  Fungsi Keuntungan P(x):
    P(x) = R(x) - C(x)
    P(x) = (100x - 0.5x²) - (10x + 200)
    P(x) = -0.5x² + 90x - 200

2.  Cari Turunan Pertama (Keuntungan Marjinal) P'(x):
    P'(x) = d/dx (-0.5x² + 90x - 200)
    P'(x) = -x + 90

3.  Temukan Titik Kritis (P'(x) = 0):
    -x + 90 = 0
    x = 90

4.  Uji dengan Turunan Kedua:
    P''(x) = d/dx (-x + 90) = -1
    Karena P''(90) = -1 < 0, ini adalah maksimum lokal (dan karena ini parabola terbuka ke bawah, ini adalah maksimum global).

Jadi, perusahaan harus memproduksi dan menjual 90 unit untuk memaksimalkan keuntungannya.

8. Turunan Implisit

Sejauh ini, sebagian besar fungsi yang kita turunkan dinyatakan secara eksplisit, artinya variabel dependen (y) dinyatakan secara langsung sebagai fungsi dari variabel independen (x), contohnya y = x² + 3 atau y = sin(x). Namun, banyak hubungan antara variabel tidak selalu dapat atau mudah diekspresikan dalam bentuk eksplisit seperti itu. Misalnya, persamaan lingkaran x² + y² = 25 atau x³ + y³ = 6xy.

Dalam kasus-kasus seperti ini, kita menggunakan teknik yang disebut turunan implisit. Turunan implisit adalah metode untuk menemukan turunan dy/dx (atau turunan terhadap variabel lain) tanpa perlu secara eksplisit menyelesaikan persamaan untuk y. Kuncinya adalah memperlakukan y sebagai sebuah fungsi dari x (y = f(x)) dan menerapkan aturan rantai setiap kali kita menurunkan suku yang mengandung y.

Langkah-langkah umum untuk Turunan Implisit:

1. Diferensialkan kedua sisi persamaan terhadap x.
2. Ingat untuk menggunakan aturan rantai pada setiap suku yang mengandung y. Jadi, jika Anda menurunkan yⁿ, hasilnya adalah ny^(n-1) * (dy/dx).
3. Kumpulkan semua suku yang mengandung dy/dx di satu sisi persamaan dan semua suku lainnya di sisi lain.
4. Faktorkan dy/dx dari suku-suku tersebut.
5. Selesaikan persamaan untuk dy/dx.

Contoh 1: Turunan Implisit Lingkaran
Temukan dy/dx jika x² + y² = 25.

1.  Diferensialkan kedua sisi terhadap x:
    d/dx (x² + y²) = d/dx (25)

2.  Turunkan setiap suku:
    *   Untuk d/dx (x²): Ini adalah 2x.
    *   Untuk d/dx (y²): Karena y adalah fungsi dari x, kita gunakan aturan rantai. Bayangkan y = f(x). Maka y² = (f(x))².
        Menggunakan aturan rantai, turunannya adalah 2y * (dy/dx).
    *   Untuk d/dx (25): Ini adalah 0 (turunan konstanta).

3.  Gabungkan hasilnya:
    2x + 2y (dy/dx) = 0

4.  Selesaikan untuk dy/dx:
    2y (dy/dx) = -2x
    dy/dx = -2x / (2y)
    dy/dx = -x / y

Perhatikan bahwa turunan implisit seringkali menghasilkan ekspresi untuk dy/dx yang mungkin bergantung pada kedua variabel x dan y, bukan hanya x.

Contoh 2: Turunan Implisit dengan Aturan Perkalian
Temukan dy/dx jika xy + sin(y) = x².

1.  Diferensialkan kedua sisi terhadap x:
    d/dx (xy + sin(y)) = d/dx (x²)

2.  Turunkan setiap suku:
    *   Untuk d/dx (xy): Ini adalah hasil kali dua fungsi dari x (x itu sendiri, dan y yang merupakan fungsi dari x). Gunakan aturan perkalian:
        Jika u = x dan v = y, maka u' = 1 dan v' = dy/dx.
        d/dx (xy) = u'v + uv' = (1)(y) + (x)(dy/dx) = y + x(dy/dx)

    *   Untuk d/dx (sin(y)): Gunakan aturan rantai. Turunan sin(u) adalah cos(u) * u'.
        d/dx (sin(y)) = cos(y) * (dy/dx)

    *   Untuk d/dx (x²): Ini adalah 2x.

3.  Gabungkan hasilnya:
    y + x(dy/dx) + cos(y)(dy/dx) = 2x

4.  Kumpulkan semua suku yang mengandung dy/dx di satu sisi:
    x(dy/dx) + cos(y)(dy/dx) = 2x - y

5.  Faktorkan dy/dx:
    (dy/dx)(x + cos(y)) = 2x - y

6.  Selesaikan untuk dy/dx:
    dy/dx = (2x - y) / (x + cos(y))

Turunan implisit sangat berguna ketika fungsi sulit atau tidak mungkin dipecahkan secara eksplisit untuk y, dan juga dalam masalah laju perubahan terkait.

9. Ringkasan dan Kesimpulan

Konsep turunan adalah jantung dari kalkulus diferensial, sebuah cabang matematika yang fundamental dan revolusioner. Pemahaman tentang turunan memungkinkan kita untuk tidak hanya mengukur laju perubahan sesaat tetapi juga menyingkap kemiringan garis singgung pada suatu kurva, yang pada gilirannya memberikan wawasan mendalam tentang perilaku fungsi. Dimulai dari definisi limit yang fundamental, kita telah menelusuri berbagai aturan turunan seperti aturan pangkat, perkalian, pembagian, dan yang terpenting, aturan rantai yang memfasilitasi perhitungan turunan fungsi komposit yang kompleks. Artikel ini juga telah menguraikan turunan fungsi-fungsi khusus seperti trigonometri, eksponensial, dan logaritma, serta bagaimana turunan tingkat tinggi memberikan pemahaman tentang percepatan dan kecekungan grafik, memperkaya analisis kita.

Jangkauan aplikasi turunan melampaui perhitungan matematis murni, meresap ke dalam berbagai aspek ilmu pengetahuan dan industri. Turunan adalah alat yang sangat diperlukan untuk memecahkan masalah praktis, dari menentukan laju perubahan terkait dalam konteks fisika dan rekayasa, hingga mengoptimalkan proses untuk menemukan nilai maksimum atau minimum dalam ekonomi dan bisnis. Kemampuannya untuk menganalisis bentuk dan perilaku grafik fungsi sangat krusial dalam visualisasi data dan pemodelan ilmiah. Selain itu, turunan memungkinkan kita untuk membuat perkiraan linear yang akurat dan menangani limit tak tentu yang rumit menggunakan Teorema L'Hôpital. Teknik turunan implisit juga memperluas kemampuan kita untuk menganalisis hubungan yang lebih kompleks antara variabel yang tidak dapat dengan mudah diungkapkan secara eksplisit.

Menguasai turunan adalah langkah krusial dan mendasar dalam perjalanan menuju penguasaan kalkulus, membuka pintu menuju analisis matematika yang lebih lanjut dan lebih canggih, termasuk kalkulus integral yang merupakan kebalikan dari diferensial. Dengan latihan yang cukup, dedikasi, dan pemahaman yang kuat tentang konsep dasar dan aturan-aturan yang telah dibahas, Anda akan diperlengkapi dengan baik untuk menerapkan turunan dalam beragam situasi dan memecahkan berbagai masalah yang menantang di dunia akademis maupun profesional. Turunan, pada akhirnya, bukan sekadar kumpulan formula; ia adalah sebuah kerangka berpikir tentang perubahan, dinamika, dan optimasi yang tertanam jauh di dalam inti banyak fenomena alamiah dan sistem buatan manusia. Ini adalah bahasa perubahan, dan dengan menguasainya, Anda menguasai kunci untuk memahami dan membentuk dunia di sekitar kita.