Dalam dunia rekayasa, fisika, ekonomi, dan biologi, sebagian besar fenomena yang diamati di alam semesta ini bersifat nonlinier. Model-model nonlinier sering kali merefleksikan kompleksitas dan interaksi yang kaya, namun di sisi lain, analisis sistem nonlinier secara eksak merupakan tugas yang sangat menantang, bahkan seringkali mustahil dilakukan dalam kerangka analitik tertutup. Inilah mengapa konsep Linierisasi menjadi salah satu alat matematika yang paling penting dan fundamental.
Linierisasi adalah sebuah teknik penyederhanaan yang memungkinkan para ilmuwan dan insinyur untuk memetakan perilaku lokal dari sistem nonlinier yang kompleks ke dalam domain linier yang jauh lebih terstruktur dan dapat dikelola. Intinya, kita mengganti kurva yang rumit dengan garis lurus yang mendekatinya di sekitar titik operasi tertentu. Walaupun pendekatan ini hanyalah aproksimasi, validitas dan kemudahan analisis yang ditawarkannya menjadikannya landasan bagi hampir semua desain sistem kontrol modern, analisis stabilitas, dan pemodelan prediktif.
Untuk memahami linierisasi, kita harus terlebih dahulu memahami alat utama yang memungkinkan transisi dari nonlinier ke linier: Deret Taylor. Deret Taylor menyediakan kerangka kerja untuk merepresentasikan fungsi apa pun sebagai jumlah tak terbatas dari turunan-turunan fungsi tersebut pada suatu titik tertentu. Linierisasi adalah kasus khusus dari Deret Taylor, di mana kita hanya menggunakan suku pertama dari ekspansi tersebut.
Fungsi nonlinier, misalnya $f(x) = x^3 + \cos(x)$, memiliki hubungan input-output yang tidak proporsional dan tidak aditif. Perilaku fungsi ini berubah drastis tergantung pada nilai input $x$. Kurva yang dibentuk oleh fungsi nonlinier seringkali melengkung. Dalam konteks sistem dinamis, nonlinieritas dapat menyebabkan fenomena seperti osilasi batas (limit cycles), histeresis, dan bahkan kekacauan (chaos), yang semuanya tidak mungkin terjadi dalam sistem linier.
Deret Taylor adalah kunci untuk memahami bagaimana kurva dapat diubah menjadi garis. Formula Deret Taylor untuk fungsi $f(x)$ di sekitar titik operasi $a$ adalah:
Dalam proses linierisasi, kita mengasumsikan bahwa perubahan variabel $(\Delta x = x - a)$ sangat kecil. Jika $\Delta x$ mendekati nol, suku-suku berderajat tinggi seperti $(\Delta x)^2, (\Delta x)^3$, dan seterusnya, menjadi jauh lebih kecil daripada suku-suku berderajat rendah. Oleh karena itu, kita dapat mengabaikan semua suku berderajat dua dan yang lebih tinggi, meninggalkan kita dengan aproksimasi orde pertama:
Persamaan di atas mendefinisikan sebuah garis lurus. $f(a)$ adalah perpotongan y yang telah ditranslasi, $f'(a)$ (turunan pertama) adalah kemiringan atau gradien garis tersebut pada titik $a$, dan $(x - a)$ adalah perpindahan dari titik operasi. Garis lurus ini adalah garis singgung fungsi $f(x)$ pada titik $a$, dan ini adalah esensi dari linierisasi univariat (satu variabel).
Ketika kita bekerja dengan fungsi yang hanya memiliki satu variabel independen, proses linierisasi menjadi sangat intuitif, yaitu dengan mencari persamaan garis singgung.
Diberikan fungsi $y = f(x)$, dan kita tertarik pada perilaku sistem di sekitar titik operasi nominal $x_0$. Titik nominal ini sering kali disebut sebagai titik ekuilibrium atau titik kerja. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:
Secara visual, linierisasi berarti kita mengganti kurva fungsi nonlinier dengan garis singgung yang menyentuhnya tepat pada titik $x_0$. Selama kita berada sangat dekat dengan $x_0$, nilai yang diprediksi oleh garis lurus (model linier) akan sangat mendekati nilai sebenarnya dari fungsi nonlinier. Namun, saat kita bergerak menjauh dari $x_0$, kesalahan aproksimasi akan meningkat secara kuadratik.
Alt Text: Diagram Linierisasi menunjukkan kurva nonlinier (garis ungu) yang didekati oleh garis singgung (garis putus-putus hitam) pada titik operasi P. Garis singgung adalah representasi linier lokal dari kurva nonlinier.
Dalam sistem dunia nyata, output biasanya bergantung pada banyak variabel input (misalnya, suhu, tekanan, laju aliran). Ketika fungsi $F$ tergantung pada vektor variabel $\mathbf{x} = [x_1, x_2, \ldots, x_n]$, kita memerlukan alat matematika yang lebih canggih daripada sekadar turunan tunggal. Di sinilah konsep Turunan Parsial dan Matriks Jacobian berperan penting.
Untuk fungsi $F(\mathbf{x})$, ekspansi Deret Taylor di sekitar titik nominal $\mathbf{x}_0$ melibatkan turunan parsial. Aproksimasi orde pertama (linierisasi) adalah:
Kita dapat mendefinisikan deviasi (penyimpangan) dari titik nominal sebagai $\delta \mathbf{x} = \mathbf{x} - \mathbf{x}_0$ dan deviasi output sebagai $\delta y = F(\mathbf{x}) - F(\mathbf{x}_0)$. Dengan menggunakan notasi vektor dan gradien, persamaan linierisasi menjadi:
Di mana $\nabla F(\mathbf{x}_0)$ adalah vektor gradien, yang berisi semua turunan parsial yang dievaluasi pada titik nominal.
Ketika kita memiliki sistem yang terdiri dari $m$ fungsi nonlinier, dan fungsi-fungsi tersebut bergantung pada $n$ variabel input, kita berurusan dengan sistem nonlinier multivariat. Linierisasi sistem seperti ini menghasilkan sistem linier yang direpresentasikan oleh Matriks Jacobian.
Matriks Jacobian ($\mathbf{J}$) adalah matriks yang berisi semua turunan parsial orde pertama dari vektor fungsi terhadap vektor variabel. Jika kita memiliki sistem $\mathbf{F}(\mathbf{x})$, di mana $\mathbf{F} = [f_1, f_2, \ldots, f_m]^T$ dan $\mathbf{x} = [x_1, x_2, \ldots, x_n]^T$, maka Matriks Jacobian $\mathbf{J}$ berukuran $m \times n$ didefinisikan sebagai:
Setiap elemen $J_{ij}$ dalam matriks menunjukkan sensitivitas fungsi output ke-$i$ terhadap perubahan variabel input ke-$j$, yang dievaluasi pada titik nominal. Dengan mengevaluasi Matriks Jacobian pada titik operasi $\mathbf{x}_0$, kita mendapatkan matriks konstanta, yang kita sebut $\mathbf{A}$, yang menjadi koefisien sistem linier yang baru.
Model nonlinier asli: $\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{F}(\mathbf{x}, \mathbf{u})$
Model linier yang teraproksimasi di sekitar titik ekuilibrium $(\mathbf{x}_0, \mathbf{u}_0)$: $\delta \dot{\mathbf{x}} = \mathbf{A} \delta \mathbf{x} + \mathbf{B} \delta \mathbf{u}$
Di mana:
Persamaan linier hasil linierisasi ini dikenal sebagai representasi ruang keadaan (state-space) linier. Ini adalah fondasi utama yang digunakan dalam Teori Kontrol Linier modern.
Kemampuan untuk mengubah model nonlinier menjadi model linier adalah jembatan yang memungkinkan penggunaan alat analisis yang sangat kuat yang hanya tersedia untuk sistem linier. Berikut adalah beberapa bidang utama di mana linierisasi menjadi teknik yang tak terpisahkan.
Salah satu aplikasi terpenting linierisasi adalah analisis stabilitas sistem di sekitar titik ekuilibrium. Sistem nonlinier mungkin memiliki beberapa titik ekuilibrium, dan penting untuk mengetahui apakah sistem akan kembali ke titik ekuilibrium tersebut (stabil) atau bergerak menjauh darinya (tidak stabil) setelah adanya gangguan kecil.
Untuk menentukan stabilitas sistem nonlinier $\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{F}(\mathbf{x})$ di sekitar ekuilibrium $\mathbf{x}_0$, kita cukup menganalisis stabilitas sistem linier yang teraproksimasi $\delta \dot{\mathbf{x}} = \mathbf{A} \delta \mathbf{x}$, di mana $\mathbf{A}$ adalah Matriks Jacobian yang dievaluasi di $\mathbf{x}_0$. Stabilitas sistem linier ditentukan oleh nilai eigen dari matriks $\mathbf{A}$:
Teorema ini valid kecuali dalam kasus kritis di mana nilai eigen memiliki bagian riil nol. Dalam kasus kritis ini, perilaku nonlinier yang diabaikan (suku orde tinggi dalam Deret Taylor) dapat menentukan stabilitas, sehingga diperlukan analisis nonlinier seperti metode Lyapunov kedua.
Hampir semua teknik desain kontrol klasik (seperti kontrol PID, tempat kedudukan akar, dan plot Bode/Nyquist) dikembangkan untuk sistem linier. Untuk mengendalikan robot, pesawat terbang, atau reaktor kimia—yang semuanya sangat nonlinier—insinyur harus terlebih dahulu melinierisasi modelnya di sekitar titik operasi yang diinginkan (misalnya, kecepatan jelajah pesawat, atau posisi tegak robot). Setelah sistem linier diperoleh, pengontrol linier dapat dirancang, yang kemudian diterapkan pada sistem nonlinier yang sebenarnya. Pendekatan ini disebut sebagai Kontrol Gain Berjadwal (Gain Scheduling).
Titik ekuilibrium $\mathbf{x}_0$ dari sistem $\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{F}(\mathbf{x})$ adalah titik di mana $\mathbf{F}(\mathbf{x}_0) = 0$, artinya sistem berada dalam keadaan diam. Dalam sistem nonlinier yang kompleks, menemukan titik ekuilibrium ini seringkali memerlukan solusi numerik dari sistem persamaan nonlinier. Linierisasi menyediakan cara untuk menganalisis sifat (stabil, tidak stabil, pelana) dari solusi-solusi ekuilibrium yang ditemukan.
Di bidang sistem dinamis, linierisasi sering diterapkan pada persamaan diferensial nonlinier (ODE) atau persamaan beda nonlinier. Ini memungkinkan kita untuk menganalisis respons transien dan jangka panjang dari sistem.
Pertimbangkan sistem mekanik nonlinier, seperti pendulum sederhana. Persamaan geraknya melibatkan fungsi sinus, yang nonlinier:
Di mana $\theta$ adalah sudut, $g$ adalah gravitasi, dan $L$ adalah panjang tali. Untuk sudut yang sangat kecil, kita menggunakan linierisasi trigonometri: $\sin(\theta) \approx \theta$.
Persamaan yang dilinierisasi ini adalah persamaan diferensial linier orde dua yang memiliki solusi harmonik sederhana, memungkinkan kita untuk menghitung frekuensi alami pendulum dengan mudah. Linierisasi ini sangat akurat selama $\theta$ mendekati nol (yaitu, pendulum berosilasi dekat dengan vertikal). Jika sudut besar, model linier akan gagal dan menghasilkan kesalahan yang signifikan.
Dalam beberapa kasus kendali nonlinier, alih-alih melinierisasi di sekitar titik ekuilibrium, kita mungkin ingin "membatalkan" nonlinieritas secara eksplisit melalui umpan balik. Teknik ini disebut Linierisasi Umpan Balik (Feedback Linearization). Idenya adalah merancang input kontrol $\mathbf{u}$ sedemikian rupa sehingga nonlinieritas sistem dibatalkan, meninggalkan sistem internal yang linier. Ini memerlukan pengetahuan yang sangat akurat tentang model nonlinier, dan seringkali melibatkan manipulasi turunan Lie.
Meskipun Linierisasi Umpan Balik menghasilkan sistem yang linier pada seluruh jangkauan operasi (global linier), bukan hanya di sekitar titik kerja (lokal linier), kelemahannya adalah sensitivitasnya yang ekstrem terhadap ketidakpastian parameter dan gangguan model. Oleh karena itu, linierisasi lokal menggunakan Jacobian masih lebih sering digunakan dalam praktiknya untuk alasan ketahanan (robustness).
Prinsip linierisasi tidak hanya terbatas pada analisis sistem dinamis, tetapi juga menjadi dasar bagi banyak algoritma komputasi yang digunakan untuk menyelesaikan masalah nonlinier, serta teknik statistik.
Metode Newton-Raphson adalah algoritma iteratif yang sangat efisien untuk menemukan akar (solusi) dari persamaan nonlinier $f(x) = 0$. Inti dari metode ini adalah linierisasi berulang. Pada setiap iterasi, fungsi nonlinier $f(x)$ dilinierisasi menggunakan garis singgung pada perkiraan saat ini $x_k$. Solusi untuk persamaan linier (garis singgung) kemudian digunakan sebagai perkiraan baru $x_{k+1}$.
Formula Newton-Raphson berasal langsung dari linierisasi:
Algoritma ini memanfaatkan fakta bahwa, ketika perkiraan mendekati akar, linierisasi lokal menjadi aproksimasi yang sangat baik, memungkinkan konvergensi yang sangat cepat (konvergensi kuadratik).
Dalam optimasi nonlinier dan masalah penentuan parameter (seperti regresi nonlinier), tujuannya adalah meminimalkan fungsi biaya $J(\mathbf{x})$. Algoritma seperti Gauss-Newton dan Levenberg-Marquardt (L-M) menggunakan linierisasi fungsi target untuk mengubah masalah optimasi nonlinier menjadi serangkaian masalah kuadrat terkecil linier yang lebih mudah dipecahkan.
L-M, misalnya, mengandalkan Matriks Jacobian dari fungsi residu untuk menentukan arah langkah penurunan (descent direction). Ini adalah contoh yang kuat tentang bagaimana linierisasi lokal berulang diterapkan untuk memecahkan masalah global yang kompleks.
Dalam analisis data dan statistik, seringkali data yang dikumpulkan menunjukkan hubungan nonlinier (misalnya, pertumbuhan eksponensial). Untuk menerapkan alat regresi linier standar (seperti OLS), data harus diubah menjadi bentuk linier. Teknik seperti regresi logistik atau transformasi logaritmik (misalnya, mengambil logaritma dari data pertumbuhan) adalah bentuk "linierisasi data" yang dilakukan sebelum analisis formal.
Contoh klasik adalah model pertumbuhan eksponensial $y = A e^{Bx}$. Dengan mengambil logaritma natural di kedua sisi, kita mendapatkan:
Persamaan ini sekarang berbentuk $Y = C + Bx$, yang merupakan hubungan linier sederhana, memungkinkan kita untuk dengan mudah memperkirakan parameter $C$ dan $B$ menggunakan regresi linier standar. Transformasi ini secara efektif memperluas jangkauan alat linier ke domain nonlinier, meskipun perlu kehati-hatian dalam menafsirkan kesalahan model setelah transformasi.
Meskipun linierisasi adalah alat yang ampuh, penting untuk menyadari batasan fundamentalnya. Linierisasi hanyalah aproksimasi, dan seperti semua aproksimasi, ia memiliki domain validitas yang terbatas.
Batasan utama linierisasi adalah sifatnya yang lokal. Model linier yang diperoleh akurat hanya di sekitar titik operasi nominal $(\mathbf{x}_0, \mathbf{u}_0)$. Jika sistem mengalami gangguan besar atau beroperasi jauh dari titik ekuilibrium, model linier akan gagal memprediksi perilaku sistem yang sebenarnya. Perilaku penting sistem nonlinier, seperti limit cycles atau bifurkasi (perubahan kualitatif dalam dinamika sistem), tidak dapat ditangkap oleh model linier.
Seperti disebutkan sebelumnya, jika Matriks Jacobian $\mathbf{A}$ memiliki nilai eigen dengan bagian riil nol, linierisasi tidak dapat menentukan stabilitas. Sistem ini disebut sistem kasus kritis, dan ini mengindikasikan bahwa perilaku nonlinier orde tinggi yang diabaikan memiliki pengaruh dominan terhadap stabilitas lokal. Contohnya adalah sistem Hamiltonian konservatif murni atau sistem dengan dinamika pada pusat.
Fenomena seperti histeresis, saturasi, atau fungsi dead zone—yang sangat umum dalam aktuator dan sensor fisik—sama sekali tidak dapat dimodelkan secara akurat oleh sistem linier. Jika nonlinieritas tersebut secara intrinsik terkait dengan fungsi operasional sistem, linierisasi mungkin menyesatkan.
Contohnya, saturasi pada motor servo: sistem linier dapat memprediksi respons yang terus meningkat terhadap sinyal kontrol, tetapi sistem nyata akan berhenti merespons setelah mencapai batas fisiknya. Linierisasi tidak memiliki mekanisme untuk menangkap batasan (constraints) fisik ini.
Linierisasi memerlukan pengetahuan yang tepat tentang titik ekuilibrium atau titik operasi. Dalam sistem yang dinamikanya sangat berubah (misalnya, robot yang bergerak cepat melalui berbagai lintasan), titik operasi nonlinier terus bergeser. Dalam kasus ini, linierisasi harus dilakukan secara real-time atau digunakan teknik Gain Scheduling, di mana model linier yang berbeda dihitung dan digunakan untuk setiap daerah operasi tertentu.
Untuk mengilustrasikan kekuatan praktis linierisasi, kita dapat melihat penerapannya pada model-model rekayasa yang sering ditemui.
Pertimbangkan tangki cairan dengan luas penampang $A$ dan laju aliran keluar $Q_{out}$ yang proporsional terhadap akar kuadrat dari tinggi cairan $h$ (berdasarkan Hukum Torricelli). Laju aliran masuk adalah $Q_{in}$.
Persamaan dinamika nonlinier untuk tinggi $h$ adalah:
Kita ingin melinierisasi sistem ini di sekitar titik ekuilibrium $h_0$, di mana $dh/dt = 0$. Pada ekuilibrium, $Q_{in,0} = k\sqrt{h_0}$.
Model linier (dalam bentuk deviasi $\delta h = h - h_0$ dan $\delta Q_{in} = Q_{in} - Q_{in,0}$) adalah:
Model linier ini sekarang dapat digunakan untuk menganalisis respons tangki terhadap perubahan kecil laju aliran masuk menggunakan alat seperti Transformasi Laplace dan fungsi transfer, yang akan mustahil dilakukan pada persamaan nonlinier aslinya.
Dalam bidang ekonomi, banyak model pertumbuhan didasarkan pada persamaan diferensial nonlinier. Misalnya, model logistik yang digunakan untuk memodelkan pertumbuhan populasi $P$ dengan kapasitas tampung $K$ dan laju pertumbuhan $r$:
Model ini memiliki dua titik ekuilibrium: $P_0=0$ (kepunahan) dan $P_1=K$ (kapasitas tampung).
Model linier di sekitar $K$ adalah $d(\delta P)/dt = -r (\delta P)$, di mana $\delta P = P - K$. Karena $r$ (laju pertumbuhan) biasanya positif, koefisien linier $(-r)$ adalah negatif. Ini menunjukkan bahwa titik ekuilibrium $P_1 = K$ adalah stabil secara asimptotik. Ini menegaskan secara matematis bahwa, jika populasi sedikit melampaui $K$ atau sedikit di bawah $K$, populasi akan kembali secara eksponensial ke kapasitas tampung $K$. Linierisasi dengan cepat dan meyakinkan membuktikan sifat stabilitas ini.
Linierisasi tidak hanya relevan untuk sistem waktu kontinu yang dimodelkan oleh ODE, tetapi juga untuk sistem waktu diskret yang dimodelkan oleh persamaan beda (difference equations), yang banyak digunakan dalam pemodelan stokastik dan pemrosesan sinyal digital.
Diberikan sistem waktu diskret nonlinier: $\mathbf{x}_{k+1} = \mathbf{F}(\mathbf{x}_k, \mathbf{u}_k)$. Linierisasi di sekitar titik operasi $(\mathbf{x}_0, \mathbf{u}_0)$ mengikuti logika Matriks Jacobian yang sama. Hasilnya adalah model linier waktu diskret:
Di mana $\mathbf{A}_d$ dan $\mathbf{B}_d$ adalah Matriks Jacobian yang dievaluasi pada titik operasi. Stabilitas model waktu diskret ini ditentukan oleh lokasi nilai eigen pada bidang kompleks. Sistem stabil jika semua nilai eigen terletak di dalam lingkaran satuan (unit circle).
Salah satu aplikasi komputasi linierisasi yang paling terkenal adalah Extended Kalman Filter (EKF). Filter Kalman tradisional dirancang hanya untuk sistem linier. Namun, sebagian besar sistem yang memerlukan estimasi keadaan (seperti navigasi GPS, robotika, dan pemantauan sensor) bersifat nonlinier.
EKF mengatasi nonlinieritas ini dengan secara berulang melinierisasi sistem nonlinier di sekitar estimasi keadaan saat ini pada setiap langkah waktu. Matriks kovarians dan matriks gain filter dihitung menggunakan Matriks Jacobian yang dievaluasi dari model transisi keadaan nonlinier. Ini memungkinkan estimasi keadaan yang optimal meskipun sistem aslinya nonlinier, menjadikannya algoritma fundamental dalam robotika dan sistem navigasi.
Secara harfiah, EKF adalah contoh cemerlang tentang bagaimana teknik linierisasi lokal dapat digunakan berulang kali dalam waktu nyata untuk melacak dan memprediksi keadaan sistem nonlinier yang bergerak dan kompleks.
Linierisasi adalah sebuah teknik fundamental yang mengubah paradigma dalam menganalisis dan mengontrol sistem kompleks. Dengan menyederhanakan perilaku lokal sistem nonlinier menjadi bentuk linier yang dapat ditangani, kita membuka pintu ke gudang alat analisis matematika yang luar biasa, mulai dari teori stabilitas Lyapunov hingga desain pengontrol klasik dan algoritma estimasi optimal seperti Extended Kalman Filter.
Meskipun linierisasi hanya menawarkan aproksimasi lokal dan memiliki keterbatasan dalam menangkap fenomena nonlinier yang parah, keefektifan dan efisiensi komputasinya menjadikannya langkah pertama yang tak terhindarkan dalam pemodelan hampir setiap sistem rekayasa yang dinamis. Pemahaman mendalam tentang Deret Taylor, turunan parsial, dan terutama Matriks Jacobian, adalah prasyarat bagi setiap insinyur atau ilmuwan yang bekerja dengan dinamika sistem, menegaskan linierisasi sebagai landasan matematika modern yang tak lekang oleh waktu.